Grenzwert von geom. reohe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Pizza |
Hallo Leute,
ich komm einfach nicht weiter.
Wie kann ich denn den Grenzwert von
[9 [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{1}{10}^{i}]-9 [/mm] bestimmen.
Ich weiß, dass ich da die geometrische Reihe anwenden muss. Als Ergebnis sollte eigentlich 1 herauskommen für n [mm] \to\infty. [/mm] Aber ich krieg das nicht raus. Bei mir kommt immer [mm] \bruch{10}{9} [/mm] raus.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke, Pizza
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Do 25.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Pizza
Du meinst vermutlich das Folgende:
[mm] $\left(9* \summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{10}\right)^{i}\right)-9$
[/mm]
Mit der Abkürzung $ [mm] S:=\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{10}\right)^{i}$ [/mm] ist also folgendes zu berechnen:
$9S-9_$
Da können wir $S_$ separat berechnen und nachher einsetzen.
Es gilt ja für positive $q < 1_$:
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty}q^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Für $q = [mm] \bruch{1}{10}$ [/mm] eingesetzt: [mm] $S=\bruch{10}{9}$
[/mm]
Das noch in der obigen Gleichung mit dem $S_$ eingesetzt ergibt tatsächlich als Resultat $1_$ 
Mit lieben Grüssen
Paul
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