Grenzwert von e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Ich soll in einem Referat den grenzwert der Zahl e beweisen.
Wie ihr vielleicht wisst liegt e zwischen bn=(1+1/n)^(n+1) und [mm] an=(1+1/n)^n
[/mm]
Ich habe bereits bewisen,dass bn monoton fallend und an monoton wachsend ist.Außerdem habe ich bewisen,dass an<bn.
Nun möchte ich aber noch zeigen,dass an und bn beide zum gleichen Grenzwert konvvergieren,wie kann ich das zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich soll in einem Referat den Grenzwert der Zahl e
> beweisen.
> Wie ihr vielleicht wisst liegt e zwischen [mm] b_n=(1+1/n)^{n+1} [/mm]
> und [mm]a_n=(1+1/n)^n[/mm]
>
> Ich habe bereits bewiesen,dass [mm] b_n [/mm] monoton fallend und [mm] a_n [/mm]
> monoton wachsend ist. Außerdem habe ich bewiesen,dass [mm] a_n
>
> Nun möchte ich aber noch zeigen,dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beide zum
> gleichen Grenzwert konvergieren,wie kann ich das zeigen?
Wenn ich das richtig sehe, hast du also den Beweis so
weit geführt, dass sowohl [mm] a=\limes_{n\to\infty}a_n [/mm] als auch
[mm] b=\limes_{n\to\infty}b_n [/mm] existieren. Was fehlt, ist nur noch
der Nachweis, dass a=b sein muss. Richtig ?
Dann genügt es, noch zu zeigen, dass
[mm] a-b=\limes_{n\to\infty}a_n-\limes_{n\to\infty}b_n=\limes_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0 [/mm] ist.
Statt dessen könntest du auch zeigen, dass
[mm] \bruch{a}{b}=\bruch{\limes_{n\to\infty}a_n}{\limes_{n\to\infty}b_n}=\limes_{n\to\infty}\bruch{a_n}{b_n}=1
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Also würde die Rechnung so lauten:
[mm] (1+1/n)^n-(1+1/n)^{n+1}=...0? [/mm] Wie müsstei ich hier weitervorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yvonne!
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n-\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}-\blue{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}*\left[1-\left(1+\bruch{1}{n}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1-1-\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Was soll denn deiner Meinung nach für die Pünktchen stehen?Komme absolut nicht weiter:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yvonne!
Fasse nun innerhalb der hinteren Klammer zusammen und führe anschließend die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
( [mm] 1+1/n)^n*(-1/n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 1+1/n)^n*(-1/n) [/mm] -> 0,müsste es dann doch sein,ist diese Pfeilschreibeweise richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yvonne!
Das Ergebnis stimmt. Allerdings solltest Du das vielleicht noch begründen (z.B. dass die 1. Klammer beschränkt ist).
Wenn Du ein [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(...)$ [/mm] schreibst, kommt dort ein Gleichheitszeichen hin.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+1/n)^n*(-1/n) [/mm] = 1*0=0
Ich wüsste es ncith wie ich es sonst schreiben und begründen sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Halo Yvonne!
Der Grenzwert des ersten Termes beträgt aber:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \red{e}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Dann ist es aber so korrekt ,oder?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+1/n)^n*(-1/n) [/mm] = e*0=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yvonne!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Ich arbeite mit einer Intervallschachtelung,müsste nicht eignetlich gezeigt werden, dass bn-an = 0 ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Ich arbeite mit einer Intervallschachtelung,müsste nicht eignetlich gezeigt werden, dass bn-an = 0 ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_n-b_n [/mm] ist nicht 0, sondern nur der GW. du kannst hoechstens zeigen, dass [mm] |an-bn|,\epsilon [/mm] fuer beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] und genuegend grosse [mm] n(\epsilon) [/mm] da ist aber leicher zu zeigen, dass der Quotient nur [mm] \epsilon [/mm] von 1 abweicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 22.02.2009 | | Autor: | Yvonne23 |
Schau mal bei http://www.math.unibas.ch/~zehrtc/institut/vorlesungen/fs08/sla/teil7.pdf
bei Punkt I3.
Muss ich das(lim(bn-an)=0) auch noch beweisen,wenn ich eine Intervallschachtelung durchführe oder reicht es ,dass ich wie schon im Thread durchgeführt gezeigt habe, dass (lim(an-bn)=0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 22.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] (c_n) [/mm] eine Nullfolge, so ist auch [mm] (-c_n) [/mm] eine Nullfolge
FRED
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