Grenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:48 Di 12.10.2010 | | Autor: | arcturius |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: (Dr ASK MATH FORUM)
http://mathforum.org/dr/math/
Die folgende Reihe
[mm] \blue{\summe_{x=1}^{\infty}[\sin{(\ln{x})}]*\left[\bruch{1}{x^{0,8}}-\bruch{1}{x^{0,2}}-\bruch{1}{(x+1)^{0,8}}+\bruch{1}{(x+1)^{0,2}}\right]}
[/mm]
ist konvergent (Nachweis: Limit Comparison Test).
Aber wie lässt sich formal zeigen, dass der Grenzwert ungleich Null ist? Die Wolfram Computational Engine
deutet an (Berechnung bis n= 600) , dass der Grenzwert zwischen Null und 1 (ca. 0.25) liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Di 12.10.2010 | | Autor: | wauwau |
kannst du dein Reihe ein wenig besser darstellen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 12.10.2010 | | Autor: | arcturius |
Sorry,
ich bin neu hier und noch in der Phase der Orientierung!
Ich habe den Text der Frage neu editiert unter Verwendung des Formeleditors , es geht um die folgende Reihe bzw. den Wert von
$ [mm] \blue{\summe_{x=1}^{\infty}[\sin{(\ln{x})}]\cdot{}\left[\bruch{1}{x^{0,8}}-\bruch{1}{x^{0,2}}-\bruch{1}{(x+1)^{0,8}}+\bruch{1}{(x+1)^{0,2}}\right]} [/mm] $
Ich kann zeigen, dass die Reihe konvergent ist, aber ich möchte den Fall "Grenzwert gleich Null" ausschließen, d.h. wie kann ich formal zeigen, dass der Grenzwert dieser konvergenten Reihe ungleich Null ist.
arcturius
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Hallo,
Behauptung:
Für jedes a mit 0< a < 0.5 ist der Grenzwert der Reihe
$ [mm] \blue{\summe_{x=1}^{\infty} [\sin{(\ln{x})}]\cdot{}\left[\bruch{1}{x^{1-a}}-\bruch{1}{x^{a}}-\bruch{1}{(x+1)^{1-a}}+\bruch{1}{(x+1)^{a}}\right]} [/mm] $
ungleich null.
Beweis:???
Der Spezialfall a = 0.2 (Frage an das Forum) wurde gewählt,um mit Mathematica die Konvergenz der Reihe zu testen bzw. abzuschätzen.
arcturius
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Hallo arcturius,
soll die Aufgabe mit schulischen Mitteln zu lösen sein? Das wird m.E. nicht gelingen.
Ansonsten kann eine fast perfekte Näherung durch ein uneigentliches Integral erreicht werden, von dem dann zu zeigen ist, dass es nur im Fall [mm] a=\tfrac{1}{2} [/mm] Null werden kann.
Interessant ist aber eher folgende Idee:
Wir definieren [mm] f(a):=\limes_{n\to\infty}\summe_{x=1}^{n} [\sin{(\ln{x})}]\cdot{}\left[\bruch{1}{x^{1-a}}-\bruch{1}{x^{a}}-\bruch{1}{(x+1)^{1-a}}+\bruch{1}{(x+1)^{a}}\right]
[/mm]
...und zeigen, dass f(a) streng monoton fallend ist. Dass f eine Nullstelle bei a=0.5 hat, ist ja offensichtlich. Wenn strenge Monotonie gezeigt werden kann, ist zugleich klar, dass es nur diese Nullstelle gibt.
Das Problem dabei allerdings ist, die Schreibweise der unendlichen Reihe so in eine Funktion umzuformen, dass diese stetig differenzierbar ist. Es fragt sich, ob es nicht möglich ist, die Summe als Differenzenquotient zu interpretieren, so dass die Grenzwertbildung der Integration entspricht und die Ableitung die Monotonie zeigt, womit wir wieder bei der Eingangsidee des uneigentlichen Integrals wären.
Ich habe aber keine große Lust, dafür viel Zeit zu investieren, ohne zu wissen, was Sinn und Zweck der Frage ist. Außerdem reichen meine mathematischen Fähigkeiten wahrscheinlich auch nicht aus, um zum Ziel zu kommen. 
Vielleicht hilft Dir die Idee trotzdem weiter?
Grüße
reverend
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