Grenzwert von Funktionenfolgen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 27.10.2005 | | Autor: | Angest |
* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000006762&read=1&kat=Studium
Ich versuche mich seit geraumer Zeit an einem Beweis für folgende These:
Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen, die auf einem kompakten Intervall definiert sind, punktweise gegen die Funktion f, so hat f höchstens endlich viele Unstetigkeitspunkte.
Meine bisherigen Ansätze zur Lösung:
Hat meine Folge eine Teilfolge von Lipschitzstetigen Funktionen, so ist der Grenzwert dieser Folge stetig, damit auch der Grenzwert der gesamten Folge. Die These ist damit trivilalerweise erfüllt.
Man braucht also nur den Fall zu betrachten, dass sämtliche Funktionen nicht dehnungsbeschränkt sind.
Nun war mein Gedankengang, eine Art punktweise Dehnungsbeschränkung einzuführen, um damit weiter zu arbeiten. Meine bisherigen Versuche haben leider noch nichts ergeben.
Der zweite Ansatz war, zu zeigen, dass zwei Unstetigkeitspunkte immer einen Mindestabstand haben. Dabei habe ich dann noch ein wenig mit dem Epsilon-Delta-Kriterium gespielt, und auch berücksichtigt, dass aufgrund des komakten Definitionsintervalls meine Funktionen ja nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig sind.
Ich wäre sehr dankbar für jeden Hinweis, ob nun andere Lösungsansätze, Literaturtipps oder gar einen Beweis!
Ein Beweis würde möglicherweise Teil einer Arbeit in der theoretischen Informatik, ein Verweis auf mir Helfende wird dabei natürlich erfolgen.
Liebe Grüße,
Arno
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Do 27.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen, die auf einem
> kompakten Intervall definiert sind, punktweise gegen die
> Funktion f, so hat f höchstens endlich viele
> Unstetigkeitspunkte.
Also endlich würde ich eher ausschließen - aber wahrscheinlich nur abzählbar viele, da die stetigen Funktionen ja vollständig durch die rationalen Werte bestimmt sind. aber das sehe ich nicxht sofort.
Warum keine endlichen: naja, hast du es für [0,1] und einen Punkt geschafft, nehmen wir mal [m]x^n[/m], dann kan man wie folgt vorgehn:man definiert neue Funktionen [m]g_n[/m] nach folgendem Schema:man staucht [m]f_1[/m] auf [0.5,1] zusammen, Rest ist 0. [m]f_2[/m] staucht man zweimal, einmal auf [0.5,1], einmal auf [1/4, fester Wert a zwischen 1/4 und 0.5], Rest interpoliert man linear (also stetig) System erkannt?In jedem neu defineirten Intervall ([0.5,1], [1/4,a] ...) konvergeirt es am rechten Rand dann gegen 1. Andere Idee: man hat lineare Zickzackfunktionen mit jeweils n Spitzen. Das kann man geignet wählen (die Folge) das abzählbar viele unstetigekitsstellen heraussprignen.
> Hat meine Folge eine Teilfolge von Lipschitzstetigen
> Funktionen, so ist der Grenzwert dieser Folge stetig, damit
> auch der Grenzwert der gesamten Folge. Die These ist damit
> trivilalerweise erfüllt.
Das beweise mal! Das ist imo grober Unfug, wie man an [m]x^n[/m] sieht!
> Der zweite Ansatz war, zu zeigen, dass zwei
> Unstetigkeitspunkte immer einen Mindestabstand haben. Dabei
> habe ich dann noch ein wenig mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium gespielt, und auch berücksichtigt,
> dass aufgrund des komakten Definitionsintervalls meine
> Funktionen ja nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig
> stetig sind.
Aber nicht gleichgradig - die Situation kann sich von Funktion zu funktion verschärfen, und du kannst das allgemien Delta i.a. nicht für alle Funktionen kontrollieren.
> Ein Beweis würde möglicherweise Teil einer Arbeit in der
> theoretischen Informatik, ein Verweis auf mir Helfende wird
> dabei natürlich erfolgen.
Oh, aber so besonders war das jetzt nicht - ich schaue mal, ob ich zeigen kabnn, dass es nur abzählbar viele gibt. Das reicht oft ja auch.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Angest |
Erstens vielen Dank für die Antwort, zweitens bitte ich, die lange Wartezeit zu entschuldigen, es hat etwas gedauert, bis ich mich ausgiebig damit befassen konnte.
Bei der Lipschitzstetigkeit hab ich wohl entweder was überlesen oder die falsche Quelle genutzt, das ist in der Tat eindeutig falsch.
Ich habe jetzt mal den von dir vorgeschlagenen Weg zur Erzeugung einer punktweise stetigen Folge genutzt. Für den Grenzwert f gilt dabei ja Bild(f) = {0, 1}, wobei 0 "normal" ist. Wenn wir abzählbar unendlich viele Unstetigkeitspunkte haben, haben wir also abzählbar unendlich oft 1 als Funktionswert. Da die Definitionsmenge kompakt, also beschränkt ist, muss das Urbild von {1} unter f mindestens einen Häufungspunkt a haben. Da wir nur abzählbar oft 1 haben, muss es in jeder Umgebung von a auch die 0 als Funktionswert geben.
Annahme a)
Es gelte f(a) = 0. Die Folge [mm] f_{n} [/mm] konvergiert nun punktweise gegen a, es gibt also ein [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] sodass [mm] f_{n}(a) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n > [mm] n_{0}(\varepsilon). [/mm] Weiterhin ist [mm] f_{n} [/mm] in a stetig, es gibt für unser [mm] \varepsilon [/mm] also ein [mm] \delta (\varepsilon, [/mm] n) sodass für |x - a| < [mm] \delta (\varepsilon, [/mm] n) dann [mm] |f_{n}(a) [/mm] - [mm] f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] folgt.
Es sei nun n > [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] und |x - a| < [mm] \delta(\varepsilon, [/mm] n).
Dann folgt damit [mm] f_{n}(x) [/mm] < [mm] 2\varepsilon.
[/mm]
Nun gibt es aber auch x mit |x - a| < [mm] \delta(\varepsilon, [/mm] n) und f(x) = 1.
Wieder aus der punktweisen Konvergenz der [mm] f_{n} [/mm] folgt [mm] f_{n'}(x) [/mm] > 1 - [mm] \varepsilon [/mm] für n' > [mm] n_{1}(\varepsilon, [/mm] n).
Nun erhält man [mm] f_{n_{0}(0.1) + n_{1}(0.1) + 1}(x) [/mm] > 0.9 und [mm] f_{n_{0}(0.1) + n_{1}(0.1) + 1}(x) [/mm] < 0.2, also einen Widerspruch.
Es muss also Annahme b), nämlich f(a) = 1 gelten. Das Urbild von {1} unter f enthält somit jeden seiner Häufungspunkte und ist somit abgeschlossen.
Ich habe nun das vage Gefühl, dass man nun auch noch die Endlichkeit der Unstetigkeitspunkte folgern könnte, es kommt mir allerdings eh primär auf die Abgeschlossenheit an.
Ich fürchte nur irgendwie, dass in meinem Beweis noch ein Fehler drinsteckt, wäre lieb, wenn sich den nochmal jemand durchliest.
Das Problem mit den vorgeschlagenen Funktionenfolgen ist, dass sie zwar "zuverlässig" gegen 1 konvergieren, aber "mitten unter den Einsen" die Funktionen "nicht ausreichend auf 0 runterkommen".
Um die Frage, die ich stelle noch einmal zu konkretisieren: Stimmen meine Überlegungen oder habe ich etwas übersehen? Ich habe mich bemüht, die jeweiligen Abhändigkeiten der einzelnen Werte voneinander möglichst klar mitzuführen, aber ich vertue mich recht oft bei soetwas.
Liebe Grüße,
Arno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 10.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe jetzt mal den von dir vorgeschlagenen Weg zur
> Erzeugung einer punktweise stetigen Folge genutzt. Für den
> Grenzwert f gilt dabei ja Bild(f) = {0, 1}, wobei 0
> "normal" ist. Wenn wir abzählbar unendlich viele
> Unstetigkeitspunkte haben, haben wir also abzählbar
> unendlich oft 1 als Funktionswert. Da die Definitionsmenge
> kompakt, also beschränkt ist, muss das Urbild von {1} unter
> f mindestens einen Häufungspunkt a haben. Da wir nur
> abzählbar oft 1 haben, muss es in jeder Umgebung von a auch
> die 0 als Funktionswert geben.
Als das per se natürlich nicht - in meinem konstrueirten Beispiel ist aber genau 0 der gesuchteHäufungswert mit [m]f(0)=0[/m].
>
> Annahme a)
> Es gelte f(a) = 0. Die Folge [mm]f_{n}[/mm] konvergiert nun
> punktweise gegen a, es gibt also ein [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm]
> sodass [mm]f_{n}(a)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für n > [mm]n_{0}(\varepsilon).[/mm]
> Weiterhin ist [mm]f_{n}[/mm] in a stetig, es gibt für unser
> [mm]\varepsilon[/mm] also ein [mm]\delta (\varepsilon,[/mm] n) sodass für |x
> - a| < [mm]\delta (\varepsilon,[/mm] n) dann [mm]|f_{n}(a)[/mm] - [mm]f_{n}(x)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] folgt.
Ja.
> Es sei nun n > [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm] und |x - a| <
> [mm]\delta(\varepsilon,[/mm] n).
Was willst du hier mit dem zweiten Teil erreichen? Das Delta wird für wachsendes n immerkleiner - dasweisst du schon, oder?
> Dann folgt damit [mm]f_{n}(x)[/mm] < [mm]2\varepsilon.[/mm]
Für welche x?
> Nun gibt es aber auch x mit |x - a| < [mm]\delta(\varepsilon,[/mm]
> n) und f(x) = 1.
> Wieder aus der punktweisen Konvergenz der [mm]f_{n}[/mm] folgt
> [mm]f_{n'}(x)[/mm] > 1 - [mm]\varepsilon[/mm] für n' > [mm]n_{1}(\varepsilon,[/mm]
> n).
Eben - das n' muss gar nicht das gleiche sein wie das n, es ist sogar nach Konstruktion größer - dein n' hängt vom gewählten n ab - und as ist der Punkt, irgendwie. Du fixierst entwer der so ein, oder fixierst halt [m]n_0[/m]. Das n' hängt dann eben davon ab, weil du ja das Delta wählst - bahängig von n, und sagst: darin gibt es dann ein usw usf
> Nun erhält man [mm]f_{n_{0}(0.1) + n_{1}(0.1) + 1}(x)[/mm] > 0.9
> und [mm]f_{n_{0}(0.1) + n_{1}(0.1) + 1}(x)[/mm] < 0.2, also einen
> Widerspruch.
Bitte wie? Was steht denn da? [m]\varepsilon(n_0,n)[/m] heisst zB, dass das Epsilon abhängig ist von dem, was in der lammer ist - also quasi eine implizite Funktion. Deine Argumentation ist hier imo völlig daneben.
> Es muss also Annahme b), nämlich f(a) = 1 gelten.
Was offenbar nach Konstruktion falsch ist.
> Das
> Urbild von {1} unter f enthält somit jeden seiner
> Häufungspunkte und ist somit abgeschlossen.
Leider nicht, die Urbildmeneg ist [m]\{\bruch{1}{n}|n\in\IN\}[/m]
> Ich habe nun das vage Gefühl, dass man nun auch noch die
> Endlichkeit der Unstetigkeitspunkte folgern könnte, es
> kommt mir allerdings eh primär auf die Abgeschlossenheit
> an.
Nach Konstruktion gibt es aber unendlioch viele.
> Ich fürchte nur irgendwie, dass in meinem Beweis noch ein
> Fehler drinsteckt, wäre lieb, wenn sich den nochmal jemand
> durchliest.
Siehe oben.
> Das Problem mit den vorgeschlagenen Funktionenfolgen ist,
> dass sie zwar "zuverlässig" gegen 1 konvergieren, aber
> "mitten unter den Einsen" die Funktionen "nicht ausreichend
> auf 0 runterkommen".
Bitte was? Sie kommen dann schon immer auf 0 hinunter.
Ach ja: ich fürchte, man kann auch überabzählbarviele Unstetigekitsstellen erezeugen: dazu nimmt eine Konstruktion der Cantormenge, die immer innere Intervalle herausschneidet. Nun nimmt man dann quasi die charakteristischne Funktionen - blos wird von Folge zu Folge an den alten Punkten immer steiler (also man fängtmit passender Steigung m an, dann 2*m, dann 3*m etc pp). Das müsste dann im Limes gegen die charakteristische Funktion der Cantormenge konvergieren. Wahrescheinlich kann man solche Folgen ganz elegant mit Faltungen von der charakteristischen Funktion der Cantormenge erreichen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Di 13.12.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo miteinander!
Ich habe (erst gestern) nur den ersten Beitrag in diesem Strang gelesen und mir darüber Gedanken gemacht. Auch ich kam auf ein Gegenbeispiel mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen und kam bei der Konstruktion einer Funktionenfolge mit überabzählbar vielen Unstetigkeitsstellen auch auf die Idee der Cantormenge. Nur um meine eigenen Gedanken zu ordnen, poste ich euch jetzt (Wochen nach eurem Dialog) meine Idee:
Setze [mm] C_{1} [/mm] := [0;1], [mm] C_{2} [/mm] := [0;1/3] [mm] \cup [/mm] [2/3;1], usw. wie bei der geläufigen Definition der Cantormenge C := [mm] \bigcap_{i=1}^{n} C_{n}.
[/mm]
Setze dann
[mm] g_{n}: [/mm] [0;1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1 - [mm] n*d(x,C_{n})
[/mm]
sowie
[mm] f_{n}: [/mm] [0;1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto 0.5(g_{n}(x) [/mm] + [mm] |g_{n}(x)|)
[/mm]
wobei d der durch Infimum erklärte Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge ist.
Sei x [mm] \in [/mm] [0;1].
Für x [mm] \in [/mm] C ist natürlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = 1.
Ansonsten ist x [mm] \not\in C_{n} [/mm] für ein n [mm] \in \IN. [/mm] Da [mm] C_{n} [/mm] nach Konstruktion abgeschlossen ist, existiert ein e > 0 mit [mm] d(x,C_{n'}) \ge [/mm] e für n' [mm] \ge [/mm] n, also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = 0.
Damit gezeigt ist, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen überabzählbar ist, reicht es zu zeigen, dass f für alle c [mm] \in [/mm] C unstetig ist. Die Durchmesser der Zusammenhangskomponenten von c in [mm] C_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] werden nämlich beliebig klein, und damit in C gleich 0. Somit ist die Indikatorfunktion f (per punktweise Konvergenz definiert) für ein solches c unstetig.
Gruß Clemens
P.S. Man könnte nun die Frage stellen, ob eine solche Funktionenfolge existiert, für die die Menge der Unstetigkeitsstellen der Grenzfunktion ein Lebesgue-Maß größer 0 hat. (Denn C hat das Lebesgue-Maß 0)
|
|
|
|
