Grenzwert von Funktionenfolge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:05 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
| Aufgabe | Gegeben seien ein Maßraum [mm](M,\cal{M}, \mu )[/mm] und reellwertige messbare Funktionen [mm]f_{k}, f \in L^{1}(M,\mu)[/mm] mit
[mm]\limes_{k \to \infty}\integral_{M}^{}{|f_{k}(x)-f(x)|d\mu}=0.[/mm]
Man zeige:
a) Für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] gilt
[mm]\limes_{k \to \infty} \mu (M_{\epsilon,k})=0[/mm]
für [mm]M_{\epsilon,k}:=\left\{x \in M: |f_{k}(x)-f(x)|>\epsilon\right\}.[/mm]
b) Es existiert eine Teilfolge [mm]f_{k_{j}}[/mm], so dass [mm]f_{k_{j}} \to f [/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall gilt.
Hinweis: Man wähle [mm]k_{j}[/mm] monoton wachsend, so dass für alle [mm]k\gek_{j}[/mm] die Ungleichung [mm] \mu \left(\left\{x \in M: |f_{k}(x)-f(x)|>\bruch{1}{j}\right\}\right)<\bruch{1}{2^{j}}[/mm] gilt.
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Hi!
Schreibe am Freitag meine Vordiplomsklausur und werde morgen einige Aufgaben rechnen. Zur Ergebnisüberprüfung wäre es nett, wenn mir jemand das Ergebnis schickt (eventuell mit Rechenweg), damit ich mein Ergebnis überprüfen kann. Dankeschön schonmal!
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