Grenzwert von Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie falls möglich, folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\uparrow 1} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{x\downarrow 1} [/mm] f(x) für [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{|x-1|}, & \mbox{für } x\not=1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases} [/mm] |
Hallo, kann mir jemand helfen? Bei dem Limit mit dem Pfeil oben bedeutet das ja das der Grenzwert von 5 4 3 2 1 kommt oder? Und bei Pfeil runter von -4 -3 -2 -1 0 1 ? Aber beide male geht es doch gegen 1 also 1 ? Aber wenn ich 1 einsetze ist es ja nicht definiert. hhm
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie falls möglich, folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\uparrow 1}[/mm] f(x) und [mm]\limes_{x\downarrow 1}[/mm] f(x)
> für [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{|x-1|}, & \mbox{für } x\not=1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo, kann mir jemand helfen? Bei dem Limit mit dem Pfeil
> oben bedeutet das ja das der Grenzwert von 5 4 3 2 1 kommt
> oder?
?? [mm] $\lim_{x \uparrow 1}=\lim_{\substack{x < 1\\x \to 1}}\,.$
[/mm]
> Und bei Pfeil runter von -4 -3 -2 -1 0 1 ? Aber beide
> male geht es doch gegen 1 also 1 ? Aber wenn ich 1 einsetze
> ist es ja nicht definiert. hhm
Du sollst ja auch gucken, ob der rechtsseitige bzw. linksseitige Grenzwert
an [mm] $1\,$ [/mm] existiert, und wenn ja, sollst Du den Wert berechnen.
Oben ist
[mm] $$\lim_{x \uparrow 1} f(x)=\lim_{x \uparrow 1} \frac{x-1}{|x-1|}\red{\;=\;}\lim_{x \uparrow 1}\frac{x-1}{-(x-1)}=\lim_{x \uparrow 1}(-1)=-1\,.$$
[/mm]
Warum gilt das rote Gleichheitszeichen?
Zudem überlege Dir:
[mm] $$\lim_{x \downarrow 1} f(x)=1\,.$$
[/mm]
Übrigens, ein paar Dinge:
1. Schau' Dir bitte nochmal an, was [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] per Definitionem
eigentlich bedeutet. Wegen Deiner Fragen vermute ich nämlich, dass Dir
das absolut nicht klar ist.
2. Sei $g:D [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $D\,.$ [/mm] Wie kann man,
anhand des Graphen von [mm] $g\,,$ [/mm] "oft" sehen, ob [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)$
[/mm]
existiert, und, falls er existiert: Wie kann man anhand des Graphen
zumindest so [mm] "$\pi \cdot \text{ Daumen}$" [/mm] dann den Wert, grob, abschätzen?
3. Skizziere Dir unbedingt mal den Graphen Deiner obigen Funktion [mm] $f\,,$ [/mm]
und mach' Dir dann das in 2. vorgeschlagene insbesondere für dieses
[mm] $f\,$ [/mm] klar.
Nebenbei: Deine obige Funktion [mm] $f\,$ [/mm] kann man auch schreiben als
[mm] $$f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x<1 \\ 1, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases}\,,$$
[/mm]
(Beweis?) und damit wird die Aufgabe quasi trivial, wenn Du das zuerst
beweist und danach dann ausnutzt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel ! Vielen Dank für deine Mühen/Hilfe 
Also ich hab sie gezeichnet und es ist ein Funktion die bei x=1 nicht definiert ist(logischerweise). Bei x größer 1 ist y=1 und bei x kleiner 1 ist y=-1 ok jetzt hab ich verstanden warum man die Funktion auch so schreiben kann :)
Und mit diesen einseitigen Limiten. Man guck sich einmal an was passiert wenn x > 1 und einmal x < 1 (also rechts und links) an. Und da muss ich doch nur die Funktion (x-1)/|x-1| betrachten? Also das bei x>1 die Funktion positiv wird und daher 1 ist, das ist klar. Allerdings weiß ich nicht wieso bei x<1 dieses rote Gleichheitszeichen gilt. Ich betrachte ja noch Werte zwischen 0 und 1 da ist es ja auch noch positiv erst bei x<0 wird doch alles immer -1 . Oder ist das alles einfach so trivial das ich nur schaue ob x kleiner oder größer als null ist(wie bei einer normalen Ungleichung) und dann einfach hinschreibe was eben rauskommt?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also ich hab sie gezeichnet und es ist ein Funktion die bei
> x=1 nicht definiert ist(logischerweise). Bei x größer 1
> ist y=1 und bei x kleiner 1 ist y=-1 ok jetzt hab ich
> verstanden warum man die Funktion auch so schreiben kann :)
> Und mit diesen einseitigen Limiten. Man guck sich einmal an
> was passiert wenn x > 1 und einmal x < 1 (also rechts und
> links) an.
Genau soi ist es.
> Und da muss ich doch nur die Funktion
> (x-1)/|x-1| betrachten? Also das bei x>1 die Funktion
> positiv wird und daher 1 ist, das ist klar. Allerdings
> weiß ich nicht wieso bei x<1 dieses rote
> Gleichheitszeichen gilt. Ich betrachte ja noch Werte
> zwischen 0 und 1 da ist es ja auch noch positiv erst bei
> x<0 wird doch alles immer -1 .
Nein, hier liegt dein Irrtum: für x<1 ist der Zähler negativ, der Nenner ist jedoch stets positiv wegen der Betragsklammern, daher gilt die bei Marcel rot hervorgehobene Gleichheit.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok gut danke :) Aber bei Marcel ist der Nenner ja negativ? Wieso kann er einfach die Betragsstriche weglassen und ein minus vor die Klammer schreiben?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok gut danke :) Aber bei Marcel ist der Nenner ja negativ?
> Wieso kann er einfach die Betragsstriche weglassen und ein
> minus vor die Klammer schreiben?
Weil er weiß, dass für x<1 der Inhalt der Betragsklammern negativ ist, und in diesem Fall gilt ja per definitionem
|x|=-x
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok gut danke :) Aber bei Marcel ist der Nenner ja negativ?
> Wieso kann er einfach die Betragsstriche weglassen und ein
> minus vor die Klammer schreiben?
ich schreibe das nochmal ergänzend zu Diophant:
bei [mm] $\lim_{x \uparrow 1}f(x)\,,$ [/mm] also [mm] $\lim_{x < 1 \text{ und }x \to 1}f(x)$ [/mm] gilt stets $x [mm] <1\,.$ [/mm] Für [mm] $x<1\,$ [/mm] ist $x-1 < [mm] 0\,.$ [/mm] Was ist demnach [mm] $|x-1|\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel ! Vielen Dank für deine Mühen/Hilfe
>
> Also ich hab sie gezeichnet und es ist ein Funktion die bei
> x=1 nicht definiert ist(logischerweise).
sie war bei [mm] $x=1\,$ [/mm] definiert, Du hattest doch geschrieben:
$$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{|x-1|}, & \mbox{für } x\not=1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Also gilt: [mm] $f(1)=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
