Grenzwert von Folgen bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, ich habe hier einige Folgen, wo ich den Grenzwert bestimmen soll.
i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}^{n} [/mm] (Das n soll hoch dem ganzen Bruch sein)
ii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n- [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{e}-1}) [/mm]
Bei i) würde ich [mm] n^{2} [/mm] ausklammern und würde dann dort dann erhalten, dass der GW 1 ist. Stimmt das so?
ii) Wir hatten in der Vorlesung dass die n-te Wurzel aus einer Zahl gegen 1 geht, dann würde doch im Nenner 1-1 stehen, aber man darf ja nicht durch 0 teilen.
Gruß
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moin Foto,
Zu i):
Meinst du
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}\right)^{n} [/mm] $
Wenn ja darfst du nicht einfach innen rumspielen.
Als Beispiel kennst du vielleicht:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Hier könntest du mit deinem Argument auch sagen, dass 1 rauskommt; es kommt aber wie du hoffentlich weißt $e$ raus.
Zu ii):
Doch, man darf durchaus durch 0 teilen, zumindest im Grenzwert.
Also als Beispiel:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \frac{1}{n^{-1}} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Bei (ii) hast du also als Grenzwert:
[mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$.
[/mm]
Das bringt dir erstmal garnichts, denn das könnte an sich alles sein.
Also musst du ii) erst ein wenig umformen oder geschickt abschätzen, bevor du den Grenzwert bestimmen kannst.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo,
> Meinst du
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}\right)^{n}[/mm]
Ja, darf ich den log drauf anwenden so, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] log n [mm] \bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}
[/mm]
darf ich jetzt in der Klammer n ausklammern. Oder wie müsste ich jetzt weiter machen. Eine andere Idee habe ich leider nicht.
ii) Hier hätte ich sonst nur die Idee alles auf einen Bruch zu schreiben, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*\wurzel[n]{e}-n-1}{\wurzel[n]{e}-1} [/mm] Hier weiß ich jetzt auch nicht mehr weiter. Tut mir Leid, ich kriege das nicht hin.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 07.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
zu Aufgabe i)
Du hast:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}\right)^{n} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{2n^{2}+1}{2n^{2}+1}+\frac{n}{2n^{2}+1}\right)^{n} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{n}{n\left(2n+\frac{1}{n}\right)}\right)^{n} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{2n+\frac{1}{n}}\right)^{n} [/mm]
Versuche damit mal weiterzukommen.
zu ii) fällt mir gerade kein Ansatz ein.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> > Meinst du
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}\right)^{n}[/mm]
>
> Ja, darf ich den log drauf anwenden so, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] log n
> [mm]\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}[/mm]
> darf ich jetzt in der Klammer n ausklammern. Oder wie
> müsste ich jetzt weiter machen. Eine andere Idee habe ich
> leider nicht.
>
> ii) Hier hätte ich sonst nur die Idee alles auf einen
> Bruch zu schreiben, also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*\wurzel[n]{e}-n-1}{\wurzel[n]{e}-1}[/mm]
> Hier weiß ich jetzt auch nicht mehr weiter. Tut mir Leid,
> ich kriege das nicht hin.
>
Zu b) Setze n=1/t. Dann ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*\wurzel[n]{e}-n-1}{\wurzel[n]{e}-1}=\limes_{t \rightarrow 0} \bruch{e^t-1-t}{te^t-t} [/mm]
FRED
>
> Gruß
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