Grenzwert von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich bräuchte dringen hilfe!
Wie gehe ich vor , wenn ich den Grenzwert von Folgen, wie
(sin(n* [mm] \pi))/(ln(n)), [/mm] oder [mm] (2^{n}-1)/2^{n} [/mm] bestimmen möchte!?!?!?!?!?
Das Problem stellen hier die hochzahlen, logarithmus und sinus dar!
Bitte um Hilfe.
Gruß, daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Di 18.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Daniel!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich möchte dir erst einmal ein paar Tips geben, die dich auf die richtige Fährte kommen lassen. Das ganze auch formal korrekt aufzuschreiben solltest du selbst versuchen und üben.
Erste Folge: [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{\sin (n\pi)}{ln(n)}$.
[/mm]
Die Logarithmusfunktion ist unbeschränkt, es ist [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] ln(x) = [mm] \infty$. [/mm] Daher wird der Nenner in der Darstellung der [mm] $a_n$ [/mm] beliebig groß. Hingegen ist stets [mm] $|\sin (n\pi)|\leq [/mm] 1$. Der Wert der [mm] $a_n$ [/mm] wird also für hinreichend große $n$ (vom Betrag) beliebig klein werden, da der Zähler beschränkt, der Nenner jedoch unbeschränkt ist.
Zweite Folge: [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_n\frac{2^n-1}{2^n}$.
[/mm]
Es ist [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{2^n-1}{2^n} [/mm] = [mm] \frac{2^n}{2^n} [/mm] - [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] = [mm] 1-\frac{1}{2^n}$. [/mm] Es ist offensichtlich, das die Konstante Folge $(1,1,...)$ gegen 1 konvergiert. Ferner ist es ebenso leicht zu zeigen, dass [mm] $\left(\frac{1}{2^n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen 0 strebt. Nun darfst du den folgenden Satz anwenden: sind [mm] $(a_n),(b_n)$ [/mm] Folgen mit [mm] $a_n\to [/mm] a, [mm] b_n\to [/mm] b$ so existiert auch [mm] $\lim_{n\to \infty} (a_n+b_n)$ [/mm] und es ist [mm] $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b$. [/mm] Also konvergiert die Folge der [mm] $\frac{2^n-1}{2^n}$ [/mm] gegen $1-0=1$.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
