Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hallo,
Aufgabe: Sei [mm] a_0:=1, a_n:=1+\bruch{a_{n-1}}{2} [/mm] , [mm] \forall n\in [/mm] N . Zeigen Sie , dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] in R konvergiert und bestimmen den Grenzwert.
Idee:
Eine monotone und beschränkte Folge konvergiert.
Behauptung: Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist streng monoton fallend.
Beweis:
[mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}-a_n<0
[/mm]
[mm] \gdw 1+\bruch{a_{n}}{2}-a_n<0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2+a_n-2a_n}{2}<0
[/mm]
[mm] \gdw 2+a_n-2a_n<0
[/mm]
[mm] \gdw 2-a_n<0
[/mm]
[mm] \gdw a_n<2 [/mm]
Daraus sollte folgen : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2 [/mm] .
Mir fehlt aber ein paar Sache hier. Ich habe das Gefühl, dass ich nur bewiesen habe, dass die Folge beschränkt ist und den Grenzwert herausgefunden, aber irgendwie angenommen, dass die Folge streng monoton fallend ist.
Wie kann ich die Monotonie beweisen?
Der Prozess sollte derselbe sein, aber die Aussage : [mm] a_n<2 [/mm] ist keine generell offensichtliche wahre Aussage. Sollte ich das mit Induktion vielleicht beweisen?
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo araneo,
>
> Aufgabe: Sei [mm]a_0:=1, a_n:=1+\bruch{a_{n-1}}{2}[/mm] , [mm]\forall n\in[/mm]
> N . Zeigen Sie , dass die Folge [mm](a_n)[/mm] in R konvergiert und
> bestimmen den Grenzwert.
>
> Idee:
>
> Eine monotone und beschränkte Folge konvergiert.
>
> Behauptung: Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist streng monoton fallend.
> Beweis:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n[/mm]
>
> [mm]\gdw a_{n+1}-a_n<0[/mm]
>
> [mm]\gdw 1+\bruch{a_{n}}{2}-a_n<0[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2+a_n-2a_n}{2}<0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2+a_n-2a_n<0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2-a_n<0[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n<2[/mm]
Nein. Sondern [mm] $2
>
> Daraus sollte folgen : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2[/mm] .
Warum sollte dies folgen?
>
> Mir fehlt aber ein paar Sache hier. Ich habe das Gefühl,
> dass ich nur bewiesen habe, dass die Folge beschränkt ist
> und den Grenzwert herausgefunden, aber irgendwie
> angenommen, dass die Folge streng monoton fallend ist.
Nein. Bis jetzt hast Du nur bewiesen:
Die Folge ist genau dann monoton fallend, wenn 2 eine untere Schranke der Folgenglieder ist.
Du hast also weder bewiesen, daß die Folge monoton fällt, noch, daß 2 eine untere Schranke der Folgenglieder ist. Das kannst Du auch nicht beweiesen, da die zweite Aussage wegen [mm] $a_0 [/mm] < 2$ falsch ist.
>
> Wie kann ich die Monotonie beweisen?
Indem Du zeigst, daß 2 eine obere Schranke ist. Und damit zeigst Du dann, daß die Folge monoton steigt.
>
> Der Prozess sollte derselbe sein, aber die Aussage : [mm]a_n<2[/mm]
> ist keine generell offensichtliche wahre Aussage. Sollte
> ich das mit Induktion vielleicht beweisen?
Ja. Gute Idee!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang,
Da hast du auf jeden Fall Recht, keine Ahnung wie ich mich so vertan habe.
Also: Die Folge ist streng monoton wachend, denn es gilt: [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] :
[mm] \gdw a_{n+1}-a_n>0
[/mm]
[mm] \gdw 1+\bruch{a_n}{2}-a_n>0
[/mm]
[mm] \gdw 2+a_n-2a_n>0
[/mm]
[mm] \gdw 2-a_n>0
[/mm]
[mm] \gdw -a_n>-2
[/mm]
[mm] \gdw a_n<2 [/mm] .
Beweis: n [mm] \rightarrow [/mm] n+1.
I.A: n=1 , [mm] a_n=1+1/2=3/2<2 [/mm] .
[mm] I.S:a_n<2 \Rightarrow a_{n+1}<2 [/mm] :
Vorausgesetzt sei [mm] a_n<2 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a/n}{2}<1
[/mm]
[mm] \gdw 1+\bruch{a_n}{2}<2 [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}<2 [/mm] .
2 ist also die kleinste obere Schranke der Folge [mm] (a_n) [/mm] und da sie streng monoton wachsend ist, gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=^{def}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=2
[/mm]
Habe ich was vergessen?
lg. arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hey Wolfgang,
>
> Da hast du auf jeden Fall Recht, keine Ahnung wie ich mich
> so vertan habe.
>
> Also: Die Folge ist streng monoton wachend, denn es gilt:
> [mm]a_{n+1}>a_n[/mm] :
>
> [mm]\gdw a_{n+1}-a_n>0[/mm]
>
> [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}-a_n>0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2+a_n-2a_n>0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2-a_n>0[/mm]
>
> [mm]\gdw -a_n>-2[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n<2[/mm] .
>
> Beweis: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1.
>
> I.A: n=1 , [mm]a_n=1+1/2=3/2<2[/mm] .
>
> [mm]I.S:a_n<2 \Rightarrow a_{n+1}<2[/mm] :
>
> Vorausgesetzt sei [mm]a_n<2[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{a/n}{2}<1[/mm]
>
> [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}<2[/mm]
>
> [mm]\gdw a_{n+1}<2[/mm] .
>
> 2 ist also die kleinste obere Schranke der Folge [mm](a_n)[/mm] und
> da sie streng monoton wachsend ist, gilt:
Du hast nur gezeigt, daß 2 eine obere Schranke ist, aber nicht die kleinste obere Schranke!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=^{def}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=2[/mm]
>
> Habe ich was vergessen?
Ja. Bis jetzt wissen wir, daß die Folge monoton wächst und eine obere Schranke hat. Damit konvergiert sie nach Bolzano-Weierstraß gegen einen noch unbekannten Grenzwert $a$. Den kannst Du ermitteln, wenn Du [mm] $a_{n+1}\to [/mm] a$ beachtest und die Rechenregeln für Grenzwerte auf die Rekursionsformel anwendest.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang,
> > Also: Die Folge ist streng monoton wachend, denn es gilt:
> > [mm]a_{n+1}>a_n[/mm] :
> >
> > [mm]\gdw a_{n+1}-a_n>0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}-a_n>0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 2+a_n-2a_n>0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 2-a_n>0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw -a_n>-2[/mm]
> >
> > [mm]\gdw a_n<2[/mm] .
> >
> > Beweis: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1.
> >
> > I.A: n=1 , [mm]a_n=1+1/2=3/2<2[/mm] .
> >
> > [mm]I.S:a_n<2 \Rightarrow a_{n+1}<2[/mm] :
> >
> > Vorausgesetzt sei [mm]a_n<2[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \bruch{a/n}{2}<1[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}<2[/mm]
> >
> > [mm]\gdw a_{n+1}<2[/mm] .
> >
2 ist also die kleinste obere Schranke und
da sie streng monoton wachsend ist, ist die Folge konvergent.
[mm] \Rightarrow \exists a:=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=^{def}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}1+\bruch{a_n}{2}
[/mm]
Durch die Linearität des Limes erhalten wir:
[mm] 1+\bruch{a}{2}=a
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2+a}{2}=\bruch{2a}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2+a=2a
[mm] \gdw [/mm] 2=2a-a
[mm] \gdw [/mm] 2=a
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2. [/mm]
Das sollte schon reichen, oder?
Jedenfalls vielen Dank für die Bemerkungen. Jetzt habe ich nichts mehr vergessen, hoffentlich ^^
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
> Hey Wolfgang,
>
> > > Also: Die Folge ist streng monoton wachend, denn es gilt:
> > > [mm]a_{n+1}>a_n[/mm] :
> > >
> > > [mm]\gdw a_{n+1}-a_n>0[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}-a_n>0[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 2+a_n-2a_n>0[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 2-a_n>0[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw -a_n>-2[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw a_n<2[/mm] .
> > >
> > > Beweis: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1.
> > >
> > > I.A: n=1 , [mm]a_n=1+1/2=3/2<2[/mm] .
> > >
> > > [mm]I.S:a_n<2 \Rightarrow a_{n+1}<2[/mm] :
> > >
> > > Vorausgesetzt sei [mm]a_n<2[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw \bruch{a/n}{2}<1[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 1+\bruch{a_n}{2}<2[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw a_{n+1}<2[/mm] .
> > >
> 2 ist also die kleinste obere Schranke und
> da sie streng monoton wachsend ist, ist die Folge
> konvergent.
warum sollte [mm] $2\,$ [/mm] die kleinste obere Schranke sein? Es ist übrigens so:
Bei monoton wachsenden und nach oben beschränkten Folgen ist deren
kleinste obere Schranke der Grenzwert der Folge!
Ich sehe aber auch nirgends, dass Du für die Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] die
monoton wachsend und nach oben durch 2 beschränkt ist, noch zeigst:
Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $$a_N \ge 2-\epsilon\,.$$ [/mm]
Wenn Du das machst, dann glaube ich Dir diese Supremumsbehauptung!
>
> [mm]\Rightarrow \exists a:=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=^{def}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}1+\bruch{a_n}{2}[/mm]
>
> Durch die Linearität des Limes erhalten wir:
Sowas kann man auch schreiben. Vor allem aber ist der Limes eindeutig,
und ich weiß nicht, ob Wolfgang Dich das hat beweisen lassen, aber der
Beweis geht eh fast im Kopf: Hast Du [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a_{n+\red{1}}$ [/mm] bewiesen (im Falle der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
natürlich nur). Dabei kann man auch [mm] $\red{1}$ [/mm] durch jede andere Zahl
aus [mm] $\IN_0$ [/mm] ersetzen...
> [mm]1+\bruch{a}{2}=a[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2+a}{2}=\bruch{2a}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 2+a=2a
>
> [mm]\gdw[/mm] 2=2a-a
>
> [mm]\gdw[/mm] 2=a
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2.[/mm]
>
>
> Das sollte schon reichen, oder?
Das ist okay, und JETZT weißt Du auch, dass in der Tat [mm] $2\,$ [/mm] die kleinste
obere Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist. An der oben monierten Stelle war das
keinesfalls ohne Weiteres klar!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang,
2 ist also die kleinste obere Schranke und
da sie streng monoton wachsend ist, ist die Folge konvergent.
[mm] \Rightarrow \exists a:=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=^{def}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}1+\bruch{a_n}{2}
[/mm]
Durch die Linearität des Limes erhalten wir:
[mm] 1+\bruch{a}{2}=a
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2+a}{2}=\bruch{2a}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2+a=2a
[mm] \gdw [/mm] 2=2a-a
[mm] \gdw [/mm] 2=a
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2. [/mm]
Das sollte schon reichen, oder?
Jedenfalls vielen Dank für die Bemerkungen. Jetzt habe ich nichts mehr vergessen, hoffentlich ^^
lg.
arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
dieselben Fragen hatte Marcel doch schon beantwortet.
Dem ist nichts hinzuzufügen.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo,
>
> dieselben Fragen hatte Marcel doch schon beantwortet.
> Dem ist nichts hinzuzufügen.
ich glaube, er hat einfach nicht drauf geachtet, dass ich nicht Du bin. 
Nebenbei: Er hatte ja auch nur die "Supremumsbehauptung" bzgl. der
Zahl 2 "an einer sehr ungünstigen Stelle" stehen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey ihr!
Die Antworten kamen irgendwie durcheinander, daher meine Konfusion..
Viele Dank auf jeden Fall. Jetzt ist die Aufgabe mal ordentlich bewiesen und mir ist auch klar, warum war das alles vorher nicht hinreichend.
lg.
Arraneo
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