Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent und gilt [mm] a_{1} \ge a_{2} \ge a_{3} \ge...\ge [/mm] 0, so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n*a_{n})=0. [/mm] |
Hallo,
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent ist, folgt, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen Null konvergiert, aber das steht auch schon in der Aufgabe.
Sei nun [mm] x_{n}=n*a_{n}. [/mm] Dann ist [mm] x_{1}=a_{1}, x_{2}=2*a_{2}, x_{3}=3*a_{3}... [/mm] Da die [mm] a_{i} [/mm] sich aber immer der Null annähern, folgt, dass auch [mm] x_{n} [/mm] gegen Null konvergiert, aber das ist noch keine richtiger Beweis.
Mir ist noch das Abel-Dirichlet-Kriterium eingefallen, aber die Folge [mm] s_{n}:=a_{1}+...+a_{n} [/mm] ist nicht beschränkt, deswegen kann ich es nicht benutzen.
Dann habe ich einfach mal versucht die Monotonie von [mm] x_{n} [/mm] zu zeigen. Ich vermute mal [mm] x_{n} [/mm] ist monoton fallend, da [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend ist.
[mm] \bruch{x_{n}}{x_{n+1}}=\bruch{n*a_{n}}{(n+1)*a_{n+1}}=\bruch{a_{n}}{a_{n+1}*(1+\bruch{1}{n})}.
[/mm]
Jetzt würde ich gerne das [mm] a_{n+1} [/mm] im Nenner wegkriegen,klappt aber nicht.
Wie kann ich hier weitermachen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Beweisen Sie: Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent
> und gilt [mm]a_{1} \ge a_{2} \ge a_{3} \ge...\ge[/mm] 0, so folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n*a_{n})=0.[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0
[/mm]
a) Es gibt [mm] N\in\IN, [/mm] sodass
[mm] \summe_{n=N}^{\infty} a_{n}<\frac{\varepsilon}{2}
[/mm]
b) Sei [mm] m\in\IN. [/mm] Aus der Monotonie von [mm] a_n [/mm] folgt aus a)
[mm] a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}
[/mm]
c) Für [mm] n\geq [/mm] 2N ist also [mm] (m\geq [/mm] N, [mm] m=n-N\geq [/mm] n/2):
[mm] n*a_n
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti,
vielen Dank erstmal.
> > Beweisen Sie: Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent
> > und gilt [mm]a_{1} \ge a_{2} \ge a_{3} \ge...\ge[/mm] 0, so folgt
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n*a_{n})=0.[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm]
> a) Es gibt [mm]N\in\IN,[/mm] sodass
>
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_{n}<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> b) Sei [mm]m\in\IN.[/mm] Aus der Monotonie von [mm]a_n[/mm] folgt aus a)
>
> [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
>
> c) Für [mm]n\geq[/mm] 2N ist also [mm](m\geq[/mm] N, [mm]m=n-N\geq[/mm] n/2):
>
Bis hier hin ist aller klar, ich versteh nur nicht, woher du weißt,dass m [mm] \ge [/mm] n/2 ist?
> [mm]n*a_n
>
Ok,damit ist doch gezeigt, dass die Folge [mm] n*a_{n} [/mm] konvergiert,aber noch nicht, dass der Grenzwert 0 ist. Ich hätte es jetzt so begründet:
[mm] lim(n*a_{n})=lim(n)*lim(a_{n})=\infty*0=0. [/mm] Das Problem ist, dass n nicht konvergiert,deswegen kann ich auch nicht so machen.
Aber eigentlich folgt ja aus der Monotonie und Konvergenz von [mm] a_{n} [/mm] gegen 0, dass auch [mm] (n*a_{n}) [/mm] gegen Null konvergieren muss oder?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Do 16.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hallo kamaleonti,
>
> vielen Dank erstmal.
> > > Beweisen Sie: Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
> konvergent
> > > und gilt [mm]a_{1} \ge a_{2} \ge a_{3} \ge...\ge[/mm] 0, so folgt
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n*a_{n})=0.[/mm]
> >
> > Sei [mm]\varepsilon>0[/mm]
> > a) Es gibt [mm]N\in\IN,[/mm] sodass
> >
> > [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_{n}<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> >
> > b) Sei [mm]m\in\IN.[/mm] Aus der Monotonie von [mm]a_n[/mm] folgt aus a)
> >
> > [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
> >
> > c) Für [mm]n\geq[/mm] 2N ist also [mm](m\geq[/mm] N, [mm]m=n-N\geq[/mm] n/2):
> >
>
> Bis hier hin ist aller klar, ich versteh nur nicht, woher
> du weißt,dass m [mm]\ge[/mm] n/2 ist?
da missverstehst Du was. Vorher steht eine Abschätzung an [mm] $a_{N+m}\,,$ [/mm] die für alle natürlichen [mm] $m\,$ [/mm] gilt. Nun will er die entsprechende Beziehung auf [mm] $a_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2N$ anwenden; d.h. bei
[mm] $$a_{n}=a_{N+m}$$
[/mm]
soll $n=N+m [mm] \ge 2N\,,$ [/mm] also $m [mm] \ge [/mm] N$ sein. Dann ist zum einen die Abschätzung aus b) anwendbar, zum anderen gilt natürlich auch folgendes (die folgende Abschätzung bzw. das Resultat dieser ist der eigentliche Grund, warum hier $m [mm] \ge [/mm] N$ bzw. $n [mm] \ge [/mm] 2N$ gefordert wird):
Willst Du $n [mm] \ge [/mm] 2N$ haben, so ist das natürlich äquivalent zu der Forderung $(n/2) [mm] \ge N\,.$ [/mm] Mit [mm] $n/2=n-(n/2)\,$ [/mm] ist das natürlich das gleiche wie
$$n-(n/2) [mm] \ge [/mm] N$$
oder äquivalent dazu
[mm] $$\green{m=n-N \ge n/2}\,.$$
[/mm]
Dabei ist nur [mm] $m=n-N\,$ [/mm] ergänzend mitnotiert worden, damit Du die Ungleichung aus b) wiedererkennst. Diese Ungleichung wird nun im Folgenden benutzt, denn sie begründet das folgende grün markierte Ungleichheitszeichen.
>
> > [mm]n*a_n
>
> >
>
> Ok,damit ist doch gezeigt, dass die Folge [mm]n*a_{n}[/mm]
> konvergiert,aber noch nicht, dass der Grenzwert 0 ist.
Doch. Denn wegen $0 [mm] \le a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt natürlich auch $0 [mm] \le n*a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Oben steht (beachte, dass [mm] $N=N_{\varepsilon}$ [/mm] ist, was aus der Konvergenz von [mm] $\sum a_n$ [/mm] folgte), wenn man es übertrieben ausschreibt:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_\varepsilon \in \IN$ [/mm] (dabei ist nur [mm] $\tilde{N} \ge 2*N_\varepsilon$ [/mm] zu wählen, wenn [mm] $N_\varepsilon$ [/mm] ein [mm] "Epsilon-$N\,$ [/mm] bzgl. der konvergenten (!!) Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] ist"), so dass für alle $n [mm] \ge \tilde{N}$ [/mm] gilt:
[mm] $$|n*a_n [/mm] - [mm] \blue{0}|=n*a_n [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Also konvergiert [mm] $(n*a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen [mm] $\blue{0}\,.$
[/mm]
> Ich
> hätte es jetzt so begründet:
>
> [mm]lim(n*a_{n})=lim(n)*lim(a_{n})=\infty*0=0.[/mm] Das Problem ist,
> dass n nicht konvergiert,deswegen kann ich auch nicht so
> machen.
Nein, zumal man aus eben derartigen Gründen in der Analysis Ausdrücke der Art [mm] "$\infty [/mm] * 0$" undefiniert läßt. Denn [mm] $1=\lim_{n \to \infty}n/n \red{=\lim_{n \to \infty}n *\blue{\lim_{n \to \infty}(1/n)} = \infty*\blue{0}}\,$ [/mm] könnte man dann genauso folgern. (Natürlich ist [mm] $\lim_{n \to \infty}n=\infty$ [/mm] richtig, nur ist [mm] $\infty \notin \IR\,;$ [/mm] im zugehörigen Konvergenzsatz steht aber normalerweise sowas wie:
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \in \IR, b_n \to [/mm] b [mm] \in \IR \Rightarrow a_nb_n \to ab\,.$$ [/mm]
Dass [mm] $a_n *b_n \to [/mm] 0$ bei [mm] $b_n \to [/mm] 0$ gilt, folgt auch schon, wenn die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt ist. Dies ist sie etwa, wenn sie gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert. Allerdings ist sie es nicht, wenn [mm] $a_n \to \infty\,.$ [/mm] Analog kann man sich auch überlegen, dass [mm] $|a_nb_n| \to \infty\,,$ [/mm] wenn [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist und [mm] $b_n \to \infty\,.$...)
[/mm]
> Aber eigentlich folgt ja aus der Monotonie und Konvergenz
> von [mm]a_{n}[/mm] gegen 0, dass auch [mm](n*a_{n})[/mm] gegen Null
> konvergieren muss oder?
Wenn es schon daraus folgen würde, wäre die naheliegende Frage:
Wozu bräuchte man dann die Reihenkonvergenz oben?
Dass Deine Behauptung nicht stimmen kann, siehst Du aber auch schon an einfachen Beispielen:
- Mit
[mm] $$a_n=1/n$$
[/mm]
fällt [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton gegen [mm] $0\,,$ [/mm] aber [mm] $n*a_n=1 \to 1\,.$
[/mm]
- Mit
[mm] $$a_n=1/\sqrt{n}$$
[/mm]
fällt [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton gegen [mm] $0\,,$ [/mm] aber [mm] $n*a_n=\sqrt{n} \to \infty$
[/mm]
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.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 16.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Mühe.
Ich hab jetzt soweit alles verstanden, nur bei einem Schritt bin ich mir unsicher.
> > > b) Sei [mm]m\in\IN.[/mm] Aus der Monotonie von [mm]a_n[/mm] folgt aus a)
> > >
> > > [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
> > >
Gilt diese Ungleichung aus folgendem Grund?: Wegen a) gilt: [mm] a_{N}+a_{N+1}+...+a_{N+m}+...<\varepsilon/2. [/mm] Und da [mm] a_{n} [/mm] monton fallend ist, gilt [mm] a_{N+1} \le a_{N}. [/mm] Also habe ich [mm] a_{N+m} [/mm] < [mm] a_{N} [/mm] < [mm] \varepsilon/2. [/mm] Und daraus folgt die Ungleichung?
lg
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Hallo Mandy,
> > > > b) Sei [mm]m\in\IN.[/mm] Aus der Monotonie von [mm]a_n[/mm] folgt aus a)
> > > >
> > > > [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
> > > >
>
> Gilt diese Ungleichung aus folgendem Grund?: Wegen a) gilt:
> [mm]a_{N}+a_{N+1}+...+a_{N+m}+...<\varepsilon/2.[/mm] Und da [mm]a_{n}[/mm]
> monton fallend ist, gilt [mm]a_{N+1} \le a_{N}.[/mm] Also habe ich
> [mm]a_{N+m}[/mm] < [mm]a_{N}[/mm] < [mm]\varepsilon/2.[/mm] Und daraus folgt die Ungleichung?
Nicht ganz.
Es ist nach a) [mm] \sum_{n=N}^{N+m}a_n<\frac{\varepsilon}{2} [/mm] und wegen der Monotonie und Nichtnegativität von [mm] a_n [/mm] gilt:
[mm] m*a_{N+m}\leq(m+1)*a_{N+m}\leq\sum_{n=N}^{N+m}a_n<\frac{\varepsilon}{2}
[/mm]
Daraus folgt sofort, dass [mm] a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti,
> > > > > b) Sei [mm]m\in\IN.[/mm] Aus der Monotonie von [mm]a_n[/mm] folgt
> aus a)
> > > > >
> > > > > [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
> > > > >
> >
> > Gilt diese Ungleichung aus folgendem Grund?: Wegen a) gilt:
> > [mm]a_{N}+a_{N+1}+...+a_{N+m}+...<\varepsilon/2.[/mm] Und da [mm]a_{n}[/mm]
> > monton fallend ist, gilt [mm]a_{N+1} \le a_{N}.[/mm] Also habe ich
> > [mm]a_{N+m}[/mm] < [mm]a_{N}[/mm] < [mm]\varepsilon/2.[/mm] Und daraus folgt die
> Ungleichung?
> Nicht ganz.
>
> Es ist nach a) [mm]\sum_{n=N}^{N+m}a_n<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> und wegen der Monotonie und Nichtnegativität von [mm]a_n[/mm]
> gilt:
>
> [mm]m*a_{N+m}\leq(m+1)*a_{N+m}\leq\sum_{n=N}^{N+m}a_n<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Daraus folgt sofort, dass [mm]a_{N+m}<\frac{\varepsilon}{2m}[/mm]
Ahh jetzt seh ich es.
Vielen vielen Dank =)
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