Grenzwert unklar < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bins wieder.
Grenzwert der Folge: [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\frac{5}{n})^{\frac{n}{4}+3} [/mm] soll bestimmt werden. Die Lösung lautet [mm] \frac{1}{e * e^{1}{4}}
[/mm]
Ich komme nich auf diese Lösung...
Mich stört das "+3" im Exponent...
[mm] \frac{(1-\frac{5}{n})^{\frac{n}{4}}}{(1-\frac{5}{n})^{-3}}
[/mm]
Nun:
[mm] \frac{((1-\frac{5}{n})^{n})^{1/4}}{(1-\frac{5}{n})^{-3}}
[/mm]
Nun konvergiert das bei mir wie folgt:
[mm] (1-\frac{5}{n})^{n}) \to e^{-5}
[/mm]
[mm] (e^{-5})^{\frac{1}{4}} \to (e^{-5})^{\frac{1}{4}}
[/mm]
[mm] (1-\frac{5}{n})^{-3} \to 1^{-3}
[/mm]
Das zusammen konvergiert ja nicht wirklich gegen [mm] \frac{1}{e * e^{1}{4}} [/mm] - wo ist mein Fehler?
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Hallo abi2007LK!
Doch, das konvergiert wirklich gegen [mm] $\bruch{1}{e*e^{\bruch{1}{4}}}$ [/mm] , was sich durch die  Potenzgesetze zeigen lässt:
[mm] $$\left( \ e^{-5} \ \right)^{\bruch{1}{4}}*1^3 [/mm] \ = \ [mm] e^{-5*\bruch{1}{4}}*1 [/mm] \ = \ [mm] e^{-\bruch{5}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{5}{4}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^{1+\bruch{1}{4}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^1*e^{\bruch{1}{4}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e*e^{\bruch{1}{4}}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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