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| Aufgabe | Man berechne für reelle Zahlen a den Grenzwert
[mm]lim[/mm]
[mm]x\rightarrow [/mm][mm]\infty[/mm] fuer die Funktion.
f(x)=[mm] \wurzel(x(x+a))-x [/mm], sofern Limes existiert. |
Also ich komm hier irgendwie nicht weiter meiner Meinung nach muss man zuerst mal die wurzel aufloessen aber selbst da scheitert es leider schon :)
Waere echt net wenn mir wer helfen koennte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kaputzemann,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man berechne für reelle Zahlen a den Grenzwert
> [mm]lim[/mm]
> [mm]x\rightarrow [/mm][mm]\infty[/mm] fuer die Funktion.
> f(x)=[mm] \wurzel(x(x+a))-x [/mm], sofern Limes existiert.
> Also ich komm hier irgendwie nicht weiter meiner Meinung
> nach muss man zuerst mal die wurzel aufloessen aber selbst
> da scheitert es leider schon :)
>
Der Trick, den Du hier anwenden mußt, heißt hier ![[]](/images/popup.gif) binomische Formel.
> Waere echt net wenn mir wer helfen koennte
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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So ich habe nun den ersten Teil umgeformt. Komme aber mal wieder nicht weiter.....
[mm]\wurzel(x(x+a))-x =
\frac{(\wurzel(x(x-a))+x)*(\wurzel(x(x+a))+x)}{\wurzel(x(x+a))+x}=
\frac{x(x+a)-x^2}{\wurzel(x(x+a))+x}=
\frac{x^2+ax-x^2}{\wurzel(x(x+a))+x}=
\frac{ax}{\wurzel(x(x+a))+x}=
\frac{ax}{(x(x+a)^0^.^5)+x}=
\frac{ax}{(x^2+ax)^0^.^5+x}[/mm]
Na ja immerhin lern ich tex ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kaputzemann!
> [mm]\wurzel(x(x+a))-x =
\frac{(\wurzel(x(x-a))+x)*(\wurzel(x(x+a))+x)}{\wurzel(x(x+a))+x}=...[/mm]
Hier hat sich ein falsches Vorzeichen eingeschlichen. Im Zähler muss aus einem der beiden $+ \ x$ ein $- \ x$ werden.
> [mm] \frac{ax}{(x^2+ax)^0^.^5+x}[/mm]
Klammer nun im Nenner $x_$ aus gemäß [mm] $\wurzel{x^2+a*x} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2*\left(1+\bruch{a}{x}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2}*\wurzel{1+\bruch{a}{x}}$ [/mm] und kürze anschließend.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 23.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ja dann steht zum Schluß da:
[mm] \bruch{a}{1+1*\wurzel{1+\bruch{a}{x}}}
[/mm]
Nur wie mache ich nun weiter? Vielen Dank :)
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> ja dann steht zum Schluß da:
>
> [mm]\bruch{a}{1+1*\wurzel{1+\bruch{a}{x}}}[/mm]
>
> Nur wie mache ich nun weiter? Vielen Dank :)
Hallo,
da Du den Grenzwert für [mm] x\to \infty [/mm] ausrechnen sollst, bietet es sich irgendwie an, jetzt mal nachzuschauen, was passiert, wenn x immer größer wird - also den Grenzwert zu bestimmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 23.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> da Du den Grenzwert für [mm]x\to \infty[/mm] ausrechnen sollst,
> bietet es sich irgendwie an, jetzt mal nachzuschauen, was
> passiert, wenn x immer größer wird - also den Grenzwert zu
> bestimmen.
Wenn x immer größer wird, geht [mm] \bruch{a}{x} [/mm] gegen 0, somit würde unter der Wurzel 1 stehen, also hätten wir im Endeffekt [mm] \bruch{a}{2}.
[/mm]
Ist dies dann auch der Limes von f(x)?
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> > da Du den Grenzwert für [mm]x\to \infty[/mm] ausrechnen sollst,
> > bietet es sich irgendwie an, jetzt mal nachzuschauen, was
> > passiert, wenn x immer größer wird - also den Grenzwert zu
> > bestimmen.
>
> Wenn x immer größer wird, geht [mm]\bruch{a}{x}[/mm] gegen 0, somit
> würde unter der Wurzel 1 stehen, also hätten wir im
> Endeffekt [mm]\bruch{a}{2}.[/mm]
> Ist dies dann auch der Limes von f(x)?
Hallo,
ja.
(Vielleicht kannst Du vorhergehende Ergebnisse, auf die Du Dich beziehst, in Zukunft mitposten, dann muß man nicht erst suchen, sondern hat's auf einen Blick.)
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 23.10.2008 | | Autor: | kaktus |
für mich ist soweit alles klar bis auf die Umformung:
[mm] \frac{ax}{(x^2+ax)^0^.^5+x} [/mm] = [mm] \bruch{a}{1+1\cdot{}\wurzel{1+\bruch{a}{x}}} [/mm]
???
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Hallo kaktus,
Loddar hat doch weiter oben in einer Antwort genau hingeschrieben, wie du unter der Wurzel das [mm] $x^2$ [/mm] ausklammerst und rausholst.
Aber nun gut, nochmal im Ganzen:
[mm] $\frac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=\frac{ax}{\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{a}{x}\right)}+x}=\frac{ax}{x\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x}=\frac{\red{x}\cdot{}a}{\red{x}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right]}$ [/mm] ...
Beachte, dass eigentlich [mm] $\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] ist, aber da hier der Limes für [mm] $x\to+\infty$ [/mm] betrachtet wird, ist $x>0$, also $|x|=x$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 23.10.2008 | | Autor: | Chilla |
| Aufgabe | Hallo kaktus,
Loddar hat doch weiter oben in einer Antwort genau hingeschrieben, wie du unter der Wurzel das $ [mm] x^2 [/mm] $ ausklammerst und rausholst.
Aber nun gut, nochmal im Ganzen:
$ [mm] \frac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=\frac{ax}{\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{a}{x}\right)}+x}=\frac{ax}{x\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x}=\frac{\red{x}\cdot{}a}{\red{x}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right]} [/mm] $ ...
Beachte, dass eigentlich $ [mm] \sqrt{x^2}=|x| [/mm] $ ist, aber da hier der Limes für $ [mm] x\to+\infty [/mm] $ betrachtet wird, ist x>0, also |x|=x
LG
schachuzipus
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Hi,
habe mir gerade alles durchgelesen und verstehe bis hierhin auch alles, bis auf eine Sache:
Wieso wird hier im Nenner +x zu +1???
Danke schön!
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> Aber nun gut, nochmal im Ganzen:
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> [mm]\frac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=\frac{ax}{\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{a}{x}\right)}+x}=\frac{ax}{x\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x}=\frac{\red{x}\cdot{}a}{\red{x}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right]}[/mm]
> ...
> habe mir gerade alles durchgelesen und verstehe bis
> hierhin auch alles, bis auf eine Sache:
> Wieso wird hier im Nenner +x zu +1???
Hallo,
.
schau Dir mal den letzten Nenner an, [mm] x\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right].
[/mm]
Multipliziere jetzt die Klammer aus. Du landest dann beom vorletzen Nenner.
Gruß v. Angela
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