Grenzwert und Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Fkt.:
[mm] f_{1}(x,y)=\begin{cases} y, & \mbox{falls } x \mbox{größer 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ kleiner-gleich 0} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{2}(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls} xy \mbox{ungleich 0} \\ 0, & \mbox{falls} xy \mbox{= 0} \end{cases}
[/mm]
Welche der folgenden Grenzwerte existieren?
1. [mm] \limes_{a\rightarrow 0} f_{1}(x,y) [/mm] bzw. [mm] f_{2}(x,y), [/mm] a = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] soll gegen 0 = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] streben
2. [mm] \limes_{t\rightarrow 0} f_{1}(at,bt) [/mm] bzw. [mm] f_{2}(at,bt) [/mm] für t in R, dass gegen 0 strebt (die Darstellung klappt nicht ganz) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hallo an alle,
beschäftige mich gerade mit Analysis mehrerer Veränderlicher und bin mir über die Ergebnisse nicht ganz sicher bzw. ob man es so schreiben kann.
zu 1) Bei [mm] f_{1}(x,y) [/mm] würde ich sagen, ist stetig in (0,0) und deshalb existiert der Grenzwert. Beweis: Seien [mm] x_{k} [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] zwei beliebige Folgen,für die gilt, dass [mm] \vektor{x_{k} \\ y_{k}} [/mm] --> [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] für k --> unendlich, dann ist [mm] f(x_{k},y_{k}) [/mm] = f(0,0) = 0. Da [mm] x_{k} [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] beliebig sind, folgt mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit im Punkt (0,0) und damit das der Grenzwert existiert. Ist das richtig bzw. kann man es so schreiben?
zu 1b) Ich würde sagen, die Funktion ist nicht stetig in (0,0). Beweis: Sei V eine Umgebung von f(0,0)= 0 (z.B.: ]-1/2,1/2[). Des weiteren sei U eine Umgebung von [mm] \vektor{0 \\ 0}. [/mm] Dann gibt es ein x in U mit x = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] und ab [mm] \not= [/mm] 0, für das aber gilt f(a,b) = 1 [mm] \not\in [/mm] V, d.h. [mm] f(U)\not\in [/mm] V. Kann man das so schreiben?
bei 2.) Hier würde ich sagen, dass beide stetig sind und daher existiert der Grenzwert. Bin mir aber nicht sicher, wie ich es zeigen soll (Folgen etc.)?
Vielen Dank, Steffen
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> Gegeben sind folgende Fkt.:
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> [mm]f_{1}(x,y)=\begin{cases} y, & \mbox{falls } x \mbox{größer 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ kleiner-gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f_{2}(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls} xy \mbox{ungleich 0} \\ 0, & \mbox{falls} xy \mbox{= 0} \end{cases}[/mm]
>
> Welche der folgenden Grenzwerte existieren?
>
> 1. [mm]\limes_{a\rightarrow 0} f_{1}(x,y)[/mm] bzw. [mm]f_{2}(x,y),[/mm] a =
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] soll gegen 0 = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] streben
> 2. [mm]\limes_{t\rightarrow 0} f_{1}(at,bt)[/mm] bzw. [mm]f_{2}(at,bt)[/mm]
> für t in R, dass gegen 0 strebt (die Darstellung klappt
> nicht ganz)
Hallo,
Du kannst natürlich die Existenz des Grenzwertes mit der Stetigkeit der Funktion begründen, und wenn von vornherein klar ist, daß die Funktion stetig ist, ist das ein schneller Weg.
Wenn Du jedoch zuerst mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit zeigst und dann von der Stetigkeit auf die Existenz des Grenzwertes schließt, ist das ein Umweg (aber nicht falsch!), denn Dir steht als Folgerung (oder sogar Definition?) das Folgenkriterium für Grenzwerte zur Verfügung. (In meinem Beekmann-Skript war das 3.1.4.i,iv - falls das noch verwendet wird.)
Nun gibt es aber auch Funktionen, die nicht stetig sind und trotzdem einen Grenzwert haben. (Hier ist der Grenzwert dann [mm] \not= [/mm] Funktionswert)
Da mußt Du dann mit dem Folgenkriterium für Grenzwerte kommen.
MERKE: die Frage nach der Existenz eines Grenzwertes ist eine andere als die nach der Stetigkeit - wenn es auch Verknüpfungen gibt.
>
> zu 1) Bei [mm]f_{1}(x,y)[/mm] würde ich sagen, ist stetig in (0,0)
> und deshalb existiert der Grenzwert. Beweis: Seien [mm]x_{k}[/mm]
> und [mm]y_{k}[/mm] zwei beliebige Folgen,für die gilt, dass
> [mm]\vektor{x_{k} \\ y_{k}}[/mm] --> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] für k -->
> unendlich, dann ist [mm]f(x_{k},y_{k})[/mm] = f(0,0) = 0.
Das geht mir zu schnell. Hier gibt es Begründungsbedarf. Denn je nachdem, ob [mm] x_k [/mm] positiv oder nichtpositiv ist, ist der Funktionswert ja [mm] y_k [/mm] oder 0.
Aber Du kannst die Sache retten:
Für alle k ist [mm] -|y_k|\le f_1(x_k,y_k)\le|y_k|, [/mm] und mit dem "Sandwich-Theorem " für Grenzwerte hast Du's dann.
> Da [mm]x_{k}[/mm]
> und [mm]y_{k}[/mm] beliebig sind, folgt mit dem Folgenkriterium die
> Stetigkeit im Punkt (0,0) und damit das der Grenzwert
> existiert.
> zu 1b) Ich würde sagen, die Funktion ist nicht stetig in
> (0,0). Beweis: Sei V eine Umgebung von f(0,0)= 0 (z.B.:
> ]-1/2,1/2[). Des weiteren sei U eine Umgebung von [mm]\vektor{0 \\ 0}.[/mm]
> Dann gibt es ein x in U mit x = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] und ab
> [mm]\not=[/mm] 0, für das aber gilt f(a,b) = 1 [mm]\not\in[/mm] V, d.h.
> [mm]f(U)\not\in[/mm] V. Kann man das so schreiben?
So wie es dasteht, ist die Beweiskraft noch schwach. Es könnte ja jemand (z.B. der Korrektor) schlichtweg nicht glauben, daß es solche a,b gibt. Nimm ihm schon im voraus den Wind aus den Segeln.
Betrachte eine konkrete [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Also "nicht zum Beispiel.", sondern "Betrachte die 1/2 Umgebung von...".
Es sei [mm] \delta \ge [/mm] 0. Betrachte die [mm] \delta [/mm] - Umgebung [mm] U_{\delta} [/mm] von 0.
Und dann packst Du ein messerscharfes Schwert aus. Du gibst ein ganz konkretes (a,b) aus dieser [mm] \delta [/mm] - Umgebung an, dessen Funktionswert nicht in der 1/2-Umgebung liegt. z.B. [mm] (\bruch{\delta}{2},\bruch{\delta}{2})
[/mm]
Was haben wir jetzt aber gewonnen? Wir wissen, daß die Funktion nicht stetig ist. Daß sie an der Stelle (0,0) nicht den Grenzwert f(0,0)=0 hat.
Aber könnte sie nicht trotzdem an der Stelle (0,0) einen Grenzwert haben? Irgendeinen anderen? 1 böte sich an...
Das müssen wir untersuchen. Mit der Untersuchung auf Stetigkeit war für unsere Frage nichts gewonnen!
Daß sie keinen Grenzwert hat, zeigst Du mit dem Folgenkriterium für Grenzwerte.
Gib zwei Folgen an, welche beide gegen 0 konvergieren, bei denen die Folge der Funktionswerte aber einmal gegen 0 und einmal gegen 1 geht.
[mm] Z.B.(\bruch{1}{n},0) [/mm] und [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}). [/mm]
>
> bei 2.) Hier würde ich sagen, dass beide stetig sind und
> daher existiert der Grenzwert. Bin mir aber nicht sicher,
> wie ich es zeigen soll (Folgen etc.)?
Du schreibst es zwar nicht, aber a,b sind fest vorgegeben Zahlen aus [mm] \IR. [/mm] (Beliebig, aber fest.)
Für [mm] f_1(at,bt) [/mm] kannst Du es so machen:
Def. [mm] g_1: \IR-->\IR^2
[/mm]
[mm] g_1(t):=(at,bt)
[/mm]
Diese Funktion ist stetig, ggf. irgendwie zeigen.
Und als Verkettung stetiger Funktionen ist [mm] f_1\circ g_1 [/mm] stetig.
Das klappt natürlich bei [mm] f_2(at,bt) [/mm] so nicht.
Für a=0 oder b=0 ist die Sache klar, denn da ist [mm] f_2(at,bt)=0 [/mm] für alle t.
Wenn a,b beide [mm] \not=0, [/mm] sieht die Sache anders aus.
Es ist dann
[mm] f_{2}(at,bt)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } abt^2\not=0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{falls } abt^2= 0 \mbox{} \end{cases}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } t\not=0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{falls } t=0 \mbox{} \end{cases}.
[/mm]
Das ist nicht stetig in 0, was Du schnell zeigen kannst. Daher ist der Grenzwert - sofern er existiert - keinesfalls =0.
Aber Du kannst zeigen, daß jede Folge [mm] (t_n) [/mm] aus [mm] \IR\ \{0\} [/mm] gegen einen anderen Wert konvergiert.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
erstmal danke für die Hilfe. Habe erst jetzt gesehen, dass du geantwortet hattest. Die b.) habe ich so ähnlich gemacht, wie du es vorgeschlagen hast. Ich habe aber noch eine Frage zu Grenzwert und Stetigkeit. In dem Skript gilt ja folgende Äquivalenz: f ist stetig in a <=> lim f(x) = f(a) mit x --> a. In diesem Sinne ist es wie du gesagt hast, nämlich das ich mit dem Beweis der Nicht-Stetigkeit in a schließen kann, dass der Grenzwert nicht f(a) ist. Dein Argument ist ja, dass ich durch die Nicht-Stetigkeit in a nur bekomme, dass der Grenzwert nicht f(a) ist, aber nicht, dass kein Grenzwert existiert, richtig? Zwei Probleme habe ich nun: (1) Warum benutzen die dann aber im Skript (auch in anderen Lehrbüchern) immer den Nachweis, dass f in a nicht stetig ist und sagen dann folglich existiert nicht der Grenzwert? (2) die Grenzwert-Definition sagt doch, dass wenn die stetige Fortsetzung F existiert (was oft f ist), dann ist F(a) der Grenzwert. Wenn ich nun zeige, dass es keine stetige Fortsetzung gibt, dann kann ich doch sagen, dass es keinen Grenzwert in a gibt. Aber führe ich diesen Beweis nicht, wenn ich zeige, dass f in a nicht stetig ist (also steckt in der Äquivalenzaussage nicht doch eine Existenzaussage)?
Hoffe das ist verständlich.
Grüße, Steffen
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> Ich habe aber noch
> eine Frage zu Grenzwert und Stetigkeit. In dem Skript gilt
> ja folgende Äquivalenz: f ist stetig in a <=> lim f(x) =
> f(a) mit x --> a. In diesem Sinne ist es wie du gesagt
> hast, nämlich das ich mit dem Beweis der Nicht-Stetigkeit
> in a schließen kann, dass der Grenzwert nicht f(a) ist.
> Dein Argument ist ja, dass ich durch die Nicht-Stetigkeit
> in a nur bekomme, dass der Grenzwert nicht f(a) ist, aber
> nicht, dass kein Grenzwert existiert, richtig?
Völlig richtig. Bis hierher sind wir uns einig, und das Skript ist auf unserer Seite.
Zwei
> Probleme habe ich nun: (1) Warum benutzen die dann aber im
> Skript (auch in anderen Lehrbüchern) immer den Nachweis,
> dass f in a nicht stetig ist und sagen dann folglich
> existiert nicht der Grenzwert?
Wenn die Funktion nicht stetig ist, kann der Grenzwert existieren ofder nicht. Wenn er existiert, ist er aber keinesfalls dem Funktionswert - sonst WÄRE die Funktion ja stetig.
Falls wir wirklich das gleiche Skript verwenden - sag mir mal die entsprechenden Nummern. Ich würde dann nachgucken, dann könnten wir das besser besprechen. Ansonsten einschlägige Sätze, so daß ich nachlesen kann, was Du meinst. Ich würde das gerne klären.
(2) die Grenzwert-Definition
> sagt doch, dass wenn die stetige Fortsetzung F existiert
> (was oft f ist), dann ist F(a) der Grenzwert.
> Wenn ich nun
> zeige, dass es keine stetige Fortsetzung gibt, dann kann
> ich doch sagen, dass es keinen Grenzwert in a gibt.
Ja.
> Aber
> führe ich diesen Beweis nicht, wenn ich zeige, dass f in a
> nicht stetig ist (also steckt in der Äquivalenzaussage
> nicht doch eine Existenzaussage)?
Nein. Wenn f in a nicht stetig ist, KANN es trotzdem eine stetige Fortsetzung F geben.
Nämlich indem wir sagen: [mm] F(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=a \mbox{ gerade} \\ \limes_{x\rightarrow a} & \mbox{für } x=a \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Das klappt halt gerade, wenn f in a einen Grenzwert hat.
Ich will Dir zwei sehr einfache Beispiele geben.
Betrachte die Funktion [mm] f(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\not=2 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=2 \mbox{ ungerade} \end{cases}.
[/mm]
Das ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand 1, an der Stelle 2 hat sie ein Loch, der Funktionswert ist hier =0.
Die Funktion ist offensichtlich nicht stetig.
Diese Funktion können wir aber leicht stetig fortsetzen, indem wir sagen: fast alles bleibt wie es ist, aber an der Stelle 2 bekommt die neue Funktion, die stetige Fortsetzung, den Funktionswert 1.
Unsere neue Funktion ist stetig, wir haben f durch F nach 2 stetig fortgesetzt.
Nun nehmen wir eine andere Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>2 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=2 \mbox{ }\\-1, & \mbox{für } x<2 \mbox{ } \\ \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig, wir können sie aber auch nicht stetig fortsetzen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
ich habe gerade nochmal nachgelesen (Ü 3.1.1 z.Bsp. oder Bsp. 3.1.3) und ich muss mich entschuldigen, die Autoren schreiben das sie die Nicht-Existenz der stetigen Fortsetzung nachweisen und nicht die Nicht-Stetigkeit. Tut mir leid.
Lass mich es aber nochmal zusammenfassen, ob ich es wirklich habe: Wenn ich untersuchen soll, ob eine Funktion in einem Punkt einen Grenzwert besitzt, und ich vermute das es nicht so ist, dann nehme ich das Folgenkriterium etc. und kriege so raus, dass die stetige Fortsetzung nicht existiert.
Der Umweg über die Äquivalenz "Stetigkeit in a <=> Grenzwert in a" macht also nur dann Sinn, wenn ich vermute das der Grenzwert existiert und der Beweis der Stetigkeit einfacher ist (nebenbei: bedeutet die Äquivalenz nicht gerade, dass die stetige Fortsetzung F in a mit f in a identisch ist) und schließe dann das der Grenzwert gerade f(a) ist.
Ich hoffe das ist es. Nochmal vielen Dank. Es ist doch mal ganz gut, mit anderen über Definitionen zu reden.
Grüße, Steffen
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> Hallo Angela,
>
> ich habe gerade nochmal nachgelesen (Ü 3.1.1 z.Bsp. oder
> Bsp. 3.1.3) und ich muss mich entschuldigen, die Autoren
> schreiben das sie die Nicht-Existenz der stetigen
> Fortsetzung nachweisen und nicht die Nicht-Stetigkeit. Tut
> mir leid.
Das muß Dir nicht leid tun.
Wieder was gelernt, und außerden ist manchmal ja alles ganz schön verwirrend.
> Lass mich es aber nochmal zusammenfassen, ob ich es
> wirklich habe: Wenn ich untersuchen soll, ob eine Funktion
> in einem Punkt einen Grenzwert besitzt, und ich vermute das
> es nicht so ist, dann nehme ich das Folgenkriterium etc.
> und kriege so raus, dass die stetige Fortsetzung nicht
> existiert.
Ja, so kann man das sagen.
> Der Umweg über die Äquivalenz "Stetigkeit in a <=>
> Grenzwert in a" macht also nur dann Sinn, wenn ich vermute
> das der Grenzwert existiert und der Beweis der Stetigkeit
> einfacher ist (nebenbei: bedeutet die Äquivalenz nicht
> gerade, dass die stetige Fortsetzung F in a mit f in a
> identisch ist) und schließe dann das der Grenzwert gerade
> f(a) ist.
Wenn Du weißt (sei es durch einen kl. Beweis odr aufgrund der Voraussetzungen) daß die Funktion stetig ist in a, hat sie dort einen Grenzwert, dieser ist f(a).
Wenn ihr Grenzwert in a f(a) ist, ist sie in a stetig .
Gruß v. Angela
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