Grenzwert rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:20 Do 21.07.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Seien [mm] $a,b\in\mathbb{R}$ [/mm] und die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] rekursiv definiert durch $$ [mm] a_0=a,\qquad a_1=b,\qquad a_n=\bruch{1}{3}(2a_{n-1}+a_{n-2})\quad \mbox{für } n\geq [/mm] 2. $$
Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert. |
Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter..
Ich habe schon den Ansatz durch der Telekopsumme mit
$$ [mm] a_n=a_0-\sum_{k=0}^{n-1} (a_k-a_{k+1}) [/mm] $$
und
[mm] $$a_k-a_{k+1}=\frac{1}{3}(a_k+a_{k-1})$$
[/mm]
probiert, befürchte aber, dass ich da in einer Sackgasse bin.
Für Tipps wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 21.07.2016 | | Autor: | fred97 |
1. Zeige induktiv:
[mm] |a_{n+1}-a_n| \le \bruch{1}{3^n}|b-a| [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
2. Zeige dann (ich hoffe ich hab mich nicht vereechnet):
[mm] |a_{n+k}-a_n| \le \bruch{1}{3^{n-1}}* (\bruch{2}{3})^k|b-a| [/mm] für n,k [mm] \in \IN.
[/mm]
Aus 2. folgt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 21.07.2016 | | Autor: | phifre |
Vielen Dank für die Antwort! Ich habs noch nicht nachgerechnet, aber das sieht ganz Vielversprechen aus.
Wie komme ich aber an den Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Fr 22.07.2016 | | Autor: | hippias |
Man benötigt zuerst eine Vermutung. Welchen Grenzwert vermutest Du? Wenn Du noch keine Idee hast, dann rechne die Folge mit verschieden Startwerten durch, bis Du den Grenzwert in Abhängigkeit von $a$ und $b$ angeben kannst. Dann kann man versuchen Deine Vermutung zu beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 22.07.2016 | | Autor: | phifre |
Was wäre denn eine Vermutung?
Ich habe schon versucht das ganze in eine geschlossene Form zu bringen, ist mir aber leider nicht gelungen.. Beim ausrechnen der Folgenglieder werden diese nur immer länger mit Brüchen davor..
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Mache folgenden Ansatz:
[mm] a_n=\bruch{1}{3}(2a_{n-1}+a_{n-2})
[/mm]
[mm] a_n+ka_{n-1}=r(a_{n-1}+ka_{n-2})
[/mm]
1. Stelle die 2. Gleichung so um, dass du sie mit der ersten vergleichen kannst, und bestimme daraus k und r.
2. Nenne nun [mm] c_n=a_n+ka_{n-1}. [/mm] damit reduziert sich deine Gleichung nun auf [mm] c_n=rc_{n-1}.
[/mm]
3. Jetzt findest du leicht eine Formel für [mm] c_n. [/mm] Zur Kontrolle: [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}a+b [/mm] unabhängig von n.
4. Dann musst du noch das ganze so entflechten, dass du eine Formel für [mm] a_n [/mm] erhältst. Zunächst bekommst du einen Ausdruck der Form
[mm] a_n=s*a_{n-1}+v. [/mm] (*)
Daraus machst du wieder
[mm] a_n+w=s*(a_{n-1}+w), [/mm] dabei stellst du nach [mm] a_n [/mm] um und vergleichst mit (*). So erhältst du s und w.
Daraus kannst du nun [mm] a_n [/mm] bestimmen.
Zur Kontrolle: [mm] a_n=\bruch{1}{4}a+\bruch{3}{4}b+(- \bruch{1}{3})^n*\bruch{3}{4}(a [/mm] - b)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Fr 22.07.2016 | | Autor: | phifre |
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort!
Ich konnte leider noch nicht nachvollziehen, wie Du aus der letzten Gleichung auf [mm] $a_n$ [/mm] kommst..
Zur Kontrolle: Ich habe in meiner Rechnung [mm] $$r=1,\quad k=\frac{1}{3}$$ [/mm] und [mm] $$s=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{b+\frac{1}{3}a},\quad w=-b-\frac{1}{3}a.$$ [/mm] Hast Du das Gleiche?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Sa 23.07.2016 | | Autor: | phifre |
Danke, hat sich durch Deine Korrektur geklärt!
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