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Grenzwert rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 So 13.04.2008
Autor: pete06

Aufgabe
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] a_{n}^{2}+\bruch{1}{5} [/mm]
[mm] a_{0} [/mm] := 0  

Hallo zusammen,

kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den Genzwert der rekursiven Folge:

[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] a_{n}^{2}+\bruch{1}{5} [/mm]

berechne, mit [mm] a_{0} [/mm] := 0 ?

Vielen Dank,
Pete

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Grenzwert rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 So 13.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}[/mm]
>  [mm]a_{0}[/mm] := 0
> Hallo zusammen,
>  
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den Genzwert der
> rekursiven Folge:
>  
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}[/mm]
>  
> berechne, mit [mm]a_{0}[/mm] := 0 ?
>  
> Vielen Dank,
>  Pete
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

was macht die Aufgabe im Forum Klasse (1-4)?

Überlege Dir, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] monoton wachsend ist. Und nun solltest Du noch zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] nach oben beschränkt ist.

Konsequenz: Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergiert [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] gegen ein $a [mm] \in \IR$. [/mm]

Mit der Rekusionsvorschrift

[mm] $a_{n+1}=a_n^2+\frac{1}{5}$ [/mm]

kannst Du dann unter Beachtung von [mm] $\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=a=\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] eine Gleichung für $a$ aufstellen.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Grenzwert rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 So 13.04.2008
Autor: pete06

Schönen Dank Marcel,
dass muss ich mir in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
Warum "Forum Klasse (1-4)" - hatte das direkt nach dem posten bemerkt und keine Möglichkeit gefunden, meinen Artikel wieder zu löschen, bzw. zu verschieben - Sorry, mia culpa!
Klaus

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 So 13.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Schönen Dank Marcel,
>  dass muss ich mir in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
>  Warum "Forum Klasse (1-4)" - hatte das direkt nach dem
> posten bemerkt und keine Möglichkeit gefunden, meinen
> Artikel wieder zu löschen, bzw. zu verschieben - Sorry, mia
> culpa!
>  Klaus

ich habe den Beitrag editiert (ich muss den Tipp korrigieren, irgendwo hab' ich da [mm] $\le$ [/mm] und [mm] $\ge$ [/mm] auf meinem Blatt Papier durcheinandergebracht). Ich schreib' gleich nochmal was dazu.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Grenzwert rekursive Folge: Tipp: Korrigiert!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:49 So 13.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

der Tipp in einer korrigierten Fassung:

Zunächst wollen wir zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] monoton wachsend ist.

Dazu:

[mm] $(\*)$ [/mm] Zeige, dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \le G:=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}$ [/mm] gilt, dass

(I) [mm] $x^2-x+\frac{1}{5} \ge [/mm] 0$.


Tipp:
Berechne die Nullstellen [mm] $x_{N_1}$ [/mm] und [mm] $x_{N_2}$ [/mm] von $x [mm] \mapsto x^2-x+\frac{1}{5}$. [/mm]

O.E. sei [mm] $x_{N_1} \le x_{N_2}$ [/mm] (andernfalls vertausche [mm] $x_{N_1}$ [/mm] und [mm] $x_{N_2}$ [/mm] gegeneinander) und schreibe dann

[mm] $x^2-x+\frac{1}{5}=(x-x_{N_1})*(x-x_{N_2})$ [/mm]

Dann wirst Du [mm] $G=x_{N_1}$ [/mm] erkennen, und für $x [mm] \le x_{N_1}$ [/mm] sind [mm] $(x-x_{N_1})$ [/mm] und [mm] $(x-x_{N_2})$ [/mm] beide [mm] $\le [/mm] 0$, also deren Produkt ist dann also [mm] $\ge [/mm] 0$.

Damit die Idee für Deine Aufgabe:
Wir zeigen zunächst, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] durch $G$ nach oben beschränkt ist.
[mm] $(\*)$ [/mm] (I) hat dann zudem als Konsequenz, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] dann auch monoton wachsend ist.

P.S.:
Allerdings finde ich die Aufgabe alles andere als schön mit dieser Lösung...

Gruß,
Marcel

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