Grenzwert mittels Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Mi 07.01.2009 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{n^2}$ [/mm] durch Auswertung der Fourierreihe der [mm] $2\pi$-periodischen [/mm] Funktion f an einem geeigneten Punkt.
[mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] ist definiert durch
[mm] $f(x)=\br{1}{12}(3x^2-\pi^2)$, $\-pi\le [/mm] x [mm] \le\pi$
[/mm]
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Ich habe die Fourierreihe ausgerechnet
[mm] f(x)=\br{\pi^2-\pi}{12}+\br{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\br{(-1)^n}{n^2}cos(nx)
[/mm]
Mein Problem ist den Term [mm] (-1)^n [/mm] zu eliminieren. [mm] f(\pi) [/mm] kann ich ja nicht wählen, da alle Vielfache von [mm] \pi [/mm] Unstetigkeitsstellen sind.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{n^2}[/mm] durch Auswertung der
> Fourierreihe der [mm]2\pi[/mm]-periodischen Funktion f an einem
> geeigneten Punkt.
> [mm]f:\IR \to \IR[/mm] ist definiert durch
> [mm]f(x)=\br{1}{12}(3x^2-\pi^2)[/mm], [mm]\-pi\le x \le\pi[/mm]
>
>
> Ich habe die Fourierreihe ausgerechnet
>
> [mm]f(x)=\br{\pi^2-\pi}{12}+\br{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\br{(-1)^n}{n^2}cos(nx)[/mm]
>
> Mein Problem ist den Term [mm](-1)^n[/mm] zu eliminieren. [mm]f(\pi)[/mm]
> kann ich ja nicht wählen, da alle Vielfache von [mm]\pi[/mm]
> Unstetigkeitsstellen sind.
Das ist doch Unsinn !! Setzt man f auf [mm] \IR [/mm] zu einer [mm] 2\pi [/mm] - periodischen Funktion fort, so ist diese Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] ganz doll stetig ! Mach Dir mal ein Bild
FRED
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 08.01.2009 | | Autor: | bigalow |
Ok ich habe ein Bild davon gezeichnet. Aber an der stelle [mm] x=\pi [/mm] bzw. [mm] x=-\pi [/mm] ist die Funktion zwar stetig aber nicht glatt. Konvergiert die Fourrierreihe trotzdem an diesen Stellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich habe ein Bild davon gezeichnet. Aber an der stelle
> [mm]x=\pi[/mm] bzw. [mm]x=-\pi[/mm] ist die Funktion zwar stetig aber nicht
> glatt. Konvergiert die Fourrierreihe trotzdem an diesen
> Stellen?
Ja.
Für das Konvergenzverhalten von Fourrierreihen gibt es einige Sätze.
Welche Ihr davon hattet kann ich natürlich nicht wissen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 08.01.2009 | | Autor: | bigalow |
Das ist alles:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Glaube jetzt hab ichs kapiert: f muss nur auf [mm] [-\pi,\pi] [/mm] glatt/stetig differenzierbar sein. Nicht aber auf ganz [mm] \IR? [/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Dieser Satz tuts !
FRED
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