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| Aufgabe | Was stellt sich als “stationäre Lösung” ein, d.h. wie verhält sich die Lösung für t [mm] \to \infty? [/mm] Berechnen Sie die Amplitude der stationären Lösung und kommentieren Sie diesen Wert.
Die Aufgabe bezieht sich auf diese Lösung:
[mm] x(t)=e^{\bruch{-1}{3}*t}*(C_1cos(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t)+C_2*sin(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t))+\bruch{9}{16}cos(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t) [/mm] |
für t [mm] \to \infty [/mm] geht folgender Term gegen 0
[mm] e^{\bruch{-1}{3}*t}*(C_1cos(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t)+C_2*sin(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t))
[/mm]
und der foglende Term hat keinen Grenzwert
[mm] \bruch{9}{16}cos(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)
[/mm]
Ein teil der Lösung x(t) geht gegen Null und der andere teil hat keinen Grenzwert. Gegen was geht nun die Gesamte Lösung für t [mm] \to \infty?
[/mm]
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Hallo arbeitsamt,
Du verstehst die Aufgabe m.E. falsch (s. Hervorhebung).
> Was stellt sich als “stationäre Lösung” ein, d.h. wie
> verhält sich die Lösung für t [mm]\to \infty?[/mm] Berechnen Sie
> die Amplitude der stationären Lösung und kommentieren Sie
> diesen Wert.
>
> Die Aufgabe bezieht sich auf diese Lösung:
>
> [mm]x(t)=e^{\bruch{-1}{3}*t}*(C_1cos(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t)+C_2*sin(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t))+\bruch{9}{16}cos(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)[/mm]
> für t [mm]\to \infty[/mm] geht folgender Term gegen 0
>
> [mm]e^{\bruch{-1}{3}*t}*(C_1cos(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t)+C_2*sin(\bruch{2\wurzel{2}}{3}*t))[/mm]
Richtig.
> und der foglende Term hat keinen Grenzwert
>
> [mm]\bruch{9}{16}cos(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)[/mm]
Der ist nun genauer zu betrachten.
> Ein teil der Lösung x(t) geht gegen Null und der andere
> teil hat keinen Grenzwert. Gegen was geht nun die Gesamte
> Lösung für t [mm]\to \infty?[/mm]
Es gibt keinen festen Grenzwert, aber die verbleibende Schwingung hat eine genau definierte Amplitude. Was weißt Du über die Superposition von Sinusschwingungen? Der Cosinusanteil ist ja leicht durch Phasenverschiebung in einen Sinus umzurechnen, und praktischerweise haben hier auch noch beide Funktionen die gleiche Periodenlänge.
Wie groß ist also die Amplitude?
Grüße
reverend
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hallo,
> Was weißt Du über die Superposition von Sinusschwingungen? Der
> Cosinusanteil ist ja leicht durch Phasenverschiebung in
> einen Sinus umzurechnen, und praktischerweise haben hier
> auch noch beide Funktionen die gleiche Periodenlänge.
>
> Wie groß ist also die Amplitude?
[mm] \bruch{9}{16}cos(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t) [/mm] = [mm] \bruch{9}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t+\bruch{\pi}{2})+\bruch{9\wurzel{7}}{16}sin(\bruch{\wurzel{7}}{3}*t)
[/mm]
kann ich hier die beiden sinus terme zusammenfassen trotz unterschiedlicher phasen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du A*sin(x) und [mm] B*sinx+\pi\2(x) [/mm] am Kreis ansiehst,hast du zwischen den Pfeilen 90°. statt die Projrtionen zu addieren addierst du die Pfeile un projizierst den Summenpfeil der Länge [mm] \sqrt{A^2+B^2} [/mm] das ist dir Gesamtamplitude,
also hast du A*sin(x) [mm] +B*sin(x+\pi/2=) \sqrt{A^2+B^2}*sin(x+\phi)
[/mm]
zeichne es Auf, dann kannst du auch ˜phi ablesen,
Gruß leduart
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