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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Malte89 |
| Aufgabe | Geben Sie den Grenzwert der Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{{2n + 2 \choose n+1} }{{2n \choose n}}$ [/mm] an.
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}= [/mm] 4$ |
Also man muss natürlich den Grenzwert des Zählers durch den Grenzwert des Nenners teilen. Meine Vermutung ist, dass dann Zähler = 4 und Nenner = 1 oder Zähler = 2 und Nenner = [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] oder so etwas rauskommt.
Ich versuche erstmal den Grenzwert des Zählers zu erreichen und setze in die Formel [mm] ${n\choose k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} [/mm] ein und komme auf:
[mm] $\frac{(2n+1)!}{((2n+1)-(n+1)! \cdot (n+1)!}$
[/mm]
Ab hier komme ich eigentlich schon nicht mehr so richtig weiter und bin mir nicht sicher, auf jeden Fall bekomme ich keinen Grenzwert wenn ich so umforme wie ich das tu:
[mm] $\frac{(2n+1)!}{((2n+1)-(n+1)! \cdot (n+1)!} [/mm] = [mm] \frac{(2n+1)!}{n!\cdot (n+1)!}$
[/mm]
Eine Frage wäre schon mal ob man jetzt im Nenner zusammen fassen kann als:
$n! [mm] \cdot [/mm] (n+1)! = n!^2 + 1$.
Dann wäre aber unten schon mal [mm] $n^2$ [/mm] und das sieht bei mir stark nach dem Grenzwert 0 aus insgesamt, weil durch eine unendlich Große Zahl geteilt wird.
Also ich habe bei dieser Aufgabe hin und her gerechnet, aber ich glaube ich habe einfach den Falschen Lösungsansatz, bringt mich bitte auf die richtig Spur!
Gruß, Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 31.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Geben Sie den Grenzwert der Folge [mm]a_n = \frac{{2n + 2 \choose n+1} }{{2n \choose n}}[/mm]
> an.
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty}= 4[/mm]
> Also man muss natürlich den
> Grenzwert des Zählers durch den Grenzwert des Nenners
> teilen. Meine Vermutung ist, dass dann Zähler = 4 und
> Nenner = 1 oder Zähler = 2 und Nenner = [mm]\frac{1}{2}[/mm] oder
> so etwas rauskommt.
>
> Ich versuche erstmal den Grenzwert des Zählers zu
> erreichen und setze in die Formel [mm]${n\choose k}[/mm] =
> [mm]\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}[/mm] ein und komme auf:
> [mm]\frac{(2n+1)!}{((2n+1)-(n+1)! \cdot (n+1)!}[/mm]
>
> Ab hier komme ich eigentlich schon nicht mehr so richtig
> weiter und bin mir nicht sicher, auf jeden Fall bekomme ich
> keinen Grenzwert wenn ich so umforme wie ich das tu:
>
> [mm]\frac{(2n+1)!}{((2n+1)-(n+1)! \cdot (n+1)!} = \frac{(2n+1)!}{n!\cdot (n+1)!}[/mm]
>
> Eine Frage wäre schon mal ob man jetzt im Nenner zusammen
> fassen kann als:
> [mm]n! \cdot (n+1)! = n!^2 + 1[/mm].
Das geht leider nicht, [mm] (n+1)!\ne n!\cdot1!
[/mm]
> Dann wäre aber unten schon mal [mm]n^2[/mm] und das sieht bei mir
> stark nach dem Grenzwert 0 aus insgesamt, weil durch eine
> unendlich Große Zahl geteilt wird.
>
> Also ich habe bei dieser Aufgabe hin und her gerechnet,
> aber ich glaube ich habe einfach den Falschen
> Lösungsansatz, bringt mich bitte auf die richtig Spur!
>
> Gruß, Malte
Forme um:
[mm]a_n = \frac{{2n + 2 \choose n+1} }{{2n \choose n}}[/mm]
[mm]=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot((2n+2)-(n+1))!} }{\frac{(2n)!}{n!\cdot(2n-n)!}}[/mm]
[mm]=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(n-1))!}\cdot\frac{n!\cdot n!}{(2n)!}[/mm]
[mm]=\frac{n!\cdot n!\cdot(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(n-1))!\cdot(2n)!}[/mm]
[mm]=\green{\frac{n!}{(n+1)!}}\cdot\red{\frac{n!}{(n-1)!}}\cdot\blue{\frac{(2n+2)!}{(2n)!}}[/mm]
[mm]=\green{\frac{1}{n+1}}\cdot\red{n}\cdot\blue{(2n+2)(2n+1)}[/mm]
[mm] $=\frac{n(2n+2)(2n+1)}{n+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n(2(n+1))(2n+1)}{n+1}$
[/mm]
$=2n(2n+1)$
Nun mache die Überlegungen zum Grenzwert.
Marius
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