Grenzwert mit l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
$ [mm] \lim_{x \to 0} \bruch{(2*e^x - 1)-(2*sin x + 1)}{2*x - (2*sin x*cos x)}$ [/mm] |
Wenn man sich den Zähler und den Nenner genau anschaut sieht man, dass für $ x [mm] \mapsto [/mm] 0 $ Zähler und Nenner gegen 0 laufen.
Somit kann man die Regel von l'Hospital anwenden.
Ich habe Zähler und Nenner abgeleitet und komme auf folgendes:
$ [mm] \lim_{x \to 0} \bruch{2*e^x - 2*cos x}{2-(2*(cos x)^2 - 2*(sin x)^2} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0} \bruch{2*e^x - 2*cos x}{2-2*cos^2 x + 2*sin^2 x }$
[/mm]
Hier laufen wieder Zähler und Nenner gegen 0. Also nochmal l'Hospital.
$ [mm] \lim_{x \to 0} \bruch{2*e^x + sin x}{8*sin x * cos x}$
[/mm]
Und wenn man das nun berechnet kommt man auf $ [mm] \bruch{2}{0}$ [/mm] und dies ist nicht definiert. Was mache ich falsch?
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Hallo bOernY,
> Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
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> [mm]\lim_{x \to 0} \bruch{(2*e^x - 1)-(2*sin x + 1)}{2*x - (2*sin x*cos x)}[/mm]
>
> Wenn man sich den Zähler und den Nenner genau anschaut
> sieht man, dass für [mm]x \mapsto 0[/mm] Zähler und Nenner gegen 0
> laufen.
> Somit kann man die Regel von l'Hospital anwenden.
>
> Ich habe Zähler und Nenner abgeleitet und komme auf
> folgendes:
>
> [mm]\lim_{x \to 0} \bruch{2*e^x - 2*cos x}{2-(2*(cos x)^2 - 2*(sin x)^2} = \lim_{x \to 0} \bruch{2*e^x - 2*cos x}{2-2*cos^2 x + 2*sin^2 x }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hier laufen wieder Zähler und Nenner gegen 0. Also nochmal
> l'Hospital.
Jo, wahlweise erstmal etwas vereinfachen (die Zahlen ausklammern und kürzen)
>
>
> [mm]\lim_{x \to 0} \bruch{2*\red{(}e^x + sin x\red{)}}{8*sin x * cos x}[/mm]
Da fehlte eine Klammer ...
>
> Und wenn man das nun berechnet kommt man auf [mm]\bruch{2}{0}[/mm]
> und dies ist nicht definiert. Was mache ich falsch?
Nichts, alles richtig, [mm] $\frac{2}{0}:=\infty$
[/mm]
Das Ausgangsbiest haut also für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] ab.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Hmm... also habe ich wohl doch alles richtig gemacht...
Nur wieso habe ich bis jetzt in der Schule und in der Uni gelernt, dass, wenn im Nenner eine 0 steht, dass der Grenzwert folglich nicht definiert ist?
Gibt es irgendwie einen Beweis dafür, dass $ [mm] \bruch{2}{0} [/mm] $ bzgl. eines Grenzwertes [mm] \infty [/mm] bedeutet?
Verstehe das nicht so ganz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmm... also habe ich wohl doch alles richtig gemacht...
>
> Nur wieso habe ich bis jetzt in der Schule und in der Uni
> gelernt, dass, wenn im Nenner eine 0 steht, dass der
> Grenzwert folglich nicht definiert ist?
> Gibt es irgendwie einen Beweis dafür, dass [mm]\bruch{2}{0}[/mm]
> bzgl. eines Grenzwertes [mm]\infty[/mm] bedeutet?
> Verstehe das nicht so ganz...
Wie habt Ihr denn definiert: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\phi(x) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Ah ich habs doch verstanden!
Habe mich vertan...
Also der Zähler läuft ja nur gegen 2 und der Nenner läuft gegen 0. Beides wird aber niemals 2 bzw. 0 werden.
Und wenn man dann eine Zahl die gegen 2 läuft durch eine Zahl die gegen 0 läuft dividiert, dann bekommt man eine unendlich große Zahl raus.
Danke!
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