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| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Mittelwertsatzes
a) [mm] \lim_{n \to \infty}{n(1-cos(\bruch{1}{n})}
[/mm]
b) [mm] \lim_{n \to \infty}{(\wurzel[3]{n^2-a^2} - \sqrt[3]{n^2})} [/mm] |
Aufgabe ist aus dem Harro Heuse (S. 284, 2a,b)).
Zu
a) [mm] \lim_{n \to \infty}{n(1-cos(\bruch{1}{n})}
[/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty}{\bruch{(cos(0)-cos(\bruch{1}{n})}{0 - \bruch{1}{n}}}
[/mm]
hier haben wir ja direkt die Form des Mittelwertes, also
= sin(0) = 0.
Zu
b) Hier habe ich keine Idee wie ich den Term da oben auf eine Form bringen kann die dem Mittelwertsatz ähnlich sieht.:
Ich muss ja quasi eine Darstellung finden:
[mm] f'(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{f(b)+f(a)}{b-a}
[/mm]
wo a gegen b konvergiert damit das [mm] \gamma \in [/mm] (a,b) fest ist.
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Hiho,
> Ich muss ja quasi eine Darstellung finden:
>
> [mm]f'(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{f(b)+f(a)}{b-a}[/mm]
> wo a gegen b konvergiert damit das [mm]\gamma \in[/mm] (a,b) fest
> ist.
Nö, das [mm] \gamma [/mm] muss nicht fest sein, sondern kann durchaus auch von n abhängen, z.B. findet man manchmal auch nur eine Festlegung der Art [mm]\gamma \in (n,n+1)[/mm] und könnte damit trotzallem schliessen
[mm] \gamma \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
Dein Beitrag liest sich so, als würdest du es IMMER auf Form eines Differenzenquotienten bringen wollen, was aber gar nicht Sinn der Sache ist, sondern oft kann man einfach durch den Mittelwertsatz, der ja nur die Existenz eines [mm] \gamma's [/mm] mit
[mm] f(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{f(a)-f(b)}{a-b} [/mm]
postuliert, die Konvergenz zeigen.......
Ich hoffe du verstehst den Unterschied 
Nun zu deinem Problem:
Erweiter den Bruch mit [mm] \bruch{-a^2}{-a^2} [/mm] und ziehe den Zähler aus dem Grenzwert und nutze den Nenner für denen Mittelwertsatz, denn [mm](n^2-a^2) - (n^2) = -a^2[/mm].
(auch wenn ich die Aufgabe anders lösen würde, aber du sollst ja den Mittelwertsatz nutzen.....)
MFG,
Gono.
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