Grenzwert komplexer Folge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 30.05.2006 | | Autor: | Didi |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie [mm] c_n= \bruch{1}{(1+i)^n}, n\in \IC [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo,
Ich komme hier nicht so recht auf ein Ergebnis. Auch bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob ich da bisher richtig rangegangen bin. Versucht habe ich bisher
a) den Bruch zu erweitern: [mm] \bruch{1}{(1+i)^n} [/mm] = [mm] \bruch{1*(1-i)^n}{(1+i)^n*(1-i)^n}
[/mm]
b) gleich den binomischen Satz anzuwenden: [mm] \bruch{1}{(1+i)^n}=\bruch{1}{ \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}i^{n-k}}
[/mm]
c) erweitern: [mm] {(\bruch{1}{(1+i)^n})}^2=\bruch{1}{(1+i)^{2n}}=\bruch{1}{(2i)^n}
[/mm]
Im Grunde war mein Hauptansatz die Folge in Real- und Imaginärteil zu zerlegen und dann aus Betrachtung beider schlauer zu werden 
Kann ich so weiterkommen? Wenn ja, wie zerlege ich denn die Summe in Real- und Imaginärteil?
Danke für Eure Hilfe. Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Di 30.05.2006 | | Autor: | choosy |
Hi, also dein erster ansatz sieht mir recht brauchbar aus, wenn du dir den nenner anguckst (die produkte umsortierst) siehst du das dieser einfach [mm] 2^n [/mm] ist, da ja [mm] (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2...
[/mm]
also lautet deine folge einfach
[mm] $\frac{1}{2^n}(1-i)^n=(\frac{1}{2}-\frac{i}{2})^n$
[/mm]
wenn dur dir nun den betrag anguckst so siehst du
[mm] $|(\frac{1}{2}-\frac{i}{2})^n| [/mm] = [mm] |\frac{1}{2}-\frac{i}{2}|^n \rightarrow [/mm] 0$
also muss die Folge gegen 0 konvergieren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 30.05.2006 | | Autor: | Didi |
Hallo choosy,
danke für deine schnelle Antwort.
Mir ist nur noch nicht so ganz klar, warum
[mm] |\frac{1}{2}-\frac{i}{2}|^n \rightarrow [/mm] 0. Ich dachte, ich würde vielleicht irgendwann auf [mm] i^2 [/mm] kommen und dann -1 einsetzen können. Wie muss ich aber hier mit i umgehen? Ich sehe noch nicht, wie ich bei [mm] |\frac{1}{2}-\frac{i}{2}|^n [/mm] die Konvergenzaussage machen kann.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Didi!
Hast Du denn mal den Betrag [mm]\left|\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right|[/mm] ausgerechnet? Wie lautet dieser?
Für welche $q_$ konvergiert denn die geometrische Folge [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] q^k$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Di 30.05.2006 | | Autor: | Didi |
> Hast Du denn mal den Betrag
> [mm]\left|\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right|[/mm] ausgerechnet? Wie
> lautet dieser?
Das müsste doch [mm] \frac{\left|1-i\right|}{2} =\sqrt{-\frac{i}{2}} [/mm] sein, oder?
>
> Für welche [mm]q_[/mm] konvergiert denn die geometrische Folge [mm]a_k \ = \ q^k[/mm]
> ?
>
Konvergenz für [mm] q\le1
[/mm]
Also müsste [mm] \frac{\left|1-i\right|}{2} \le [/mm] 1 sein.
Mein Problem ist, dass ich mit [mm] \left|1-i\right|=\left|1-\sqrt{-1}\right| [/mm] nichts so richtig anfangen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Didi!
Der Betrag einer komplexen Zahl $z \ = \ a+i*b$ ist definiert als: $|z| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$
[/mm]
> > Für welche [mm]q_[/mm] konvergiert denn die geometrische Folge [mm]a_k \ = \ q^k[/mm] ?
> Konvergenz für [mm]q\le1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Didi |
> Der Betrag einer komplexen Zahl [mm]z \ = \ a+i*b[/mm] ist definiert
> als: [mm]|z| \ = \ \wurzel{a^2+b^2}[/mm]
Ich vergesse es immer wieder
Danke. Hab es jetzt.
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