Grenzwert in Bruch (l'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 12.04.2015 | | Autor: | exos |
| Aufgabe | Betrachte die Funktionen $ f,g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = x + sin(x)cos(x), g(x) = [mm] f(x)e^{sin(x)}$. [/mm] Zeige
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] existiert nicht, obwohl [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = 0
Warum steht dies nicht im Widerspruch zur Regel von de l'Hospital? |
Hallo,
ich habe mit dieser Übungsaufgabe Probleme.
Mir ist klar, dass der Grenzwert des Bruchs nicht existiert, weil er je nach der Exponentialfunktion im Nenner zwischen $1, [mm] \bruch{1}{e}, [/mm] e $ schwankt. Dann kann ich auch nie einen Grenzwert finden.
Ich weiß aber nicht genau, wie ich das nachweisen kann. Könnt ihr mir bitte helfen?
Ableitung:
$ [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1-sin(x)cos(x)}{exp(sin(x))(1-sin(x)cos(x)+x*cos(x)+sin(x)cos^2(x))} [/mm] $
Dort seh ich schon, dass es auf 0 geht, weil x im Nenner immer größer wird, obwohl ich die Nullstellen von $cos(x)$ hier skeptisch betrachte.
Und dass es nicht im Widerspruch zu L'Hospital steht:
Zwar sind die Grenzwerte von f(x) und g(x) gleich, aber das Intervall geht von [mm] $(-\infty,\infty) [/mm] $, also ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
In der Definition aus der Vorlesung steht allerdings, dass dies bei Intervall (a,b) nur für $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] $ gilt. Es steht nirgends etwas von b.
Ist das der Widerspruch?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 So 12.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachte die Funktionen [mm]f,g: \IR \to \IR, f(x) = x + sin(x)cos(x), g(x) = f(x)e^{sin(x)}[/mm].
> Zeige
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] existiert
> nicht, obwohl [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
> = 0
>
> Warum steht dies nicht im Widerspruch zur Regel von de
> l'Hospital?
> Hallo,
>
> ich habe mit dieser Übungsaufgabe Probleme.
> Mir ist klar, dass der Grenzwert des Bruchs nicht
> existiert, weil er je nach der Exponentialfunktion im
> Nenner zwischen [mm]1, \bruch{1}{e}, e[/mm] schwankt. Dann kann ich
> auch nie einen Grenzwert finden.
>
> Ich weiß aber nicht genau, wie ich das nachweisen kann.
> Könnt ihr mir bitte helfen?
finde eine Folge von Folgegliedern [mm] $\IR \ni x_n \to \infty$, [/mm] so dass
[mm] $(f(x_n)/g(x))_n$
[/mm]
divergiert.
Alternativ (ich formuliere das mal nur sprachlich): Finde zwei Folgen von
Folgegliedern, deren zugehörigen Folgen von Funktionswerten verschiedene
Funktionsgrenzwerte haben.
(Dass das äquivalent zur ersten Idee ist, zeigt der Satz, dass eine Folge
genau dann konvergiert, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert. [Und falls
eine Folge konvergiert bzw. falls jede ihrer Teilfolgen konvergiert, konvergieren
die Teilfolgen auch schon gegen ein und denselben Wert. Der Satz steht
auch irgendwo im Heuser, Analysis I.])
> Ableitung:
Du meinst den Quotienten gebildet aus den Ableitungen; denn [mm] $(f/g)\,'$ [/mm] würde
man anders berechnen!
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)} = \bruch{1-sin(x)cos(x)}{exp(sin(x))(1-sin(x)cos(x)+x*cos(x)+sin(x)cos^2(x))}[/mm]
> Dort seh ich schon, dass es auf 0 geht, weil x im Nenner
> immer größer wird, obwohl ich die Nullstellen von [mm]cos(x)[/mm]
> hier skeptisch betrachte.
Also generell solltest Du schon bei $f(x)/g(x)$ wegen $x [mm] \to \infty$ [/mm] annehmen,
dass o.E. [mm] $x\,$ [/mm] hinreichend groß ist - z.B. würde [mm] $g(0)=0\,$ [/mm] oben sonst Probleme
machen.
Ich rechne "den Quotienten der Ableitungen" mal auf meine Weise nach:
Wegen
[mm] $g(x)\equiv f(x)*e^{\sin(x)}$
[/mm]
folgt
[mm] $g\,'(x)\equiv f\,'(x)*e^{\sin(x)}+f(x)*\cos(x)*e^{\sin(x)}.$
[/mm]
Also ist
$ [mm] \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)} \equiv \frac{g\,'(x)*e^{\,-\,\sin(x)}-f(x)*\cos(x)}{g\,'(x)}\,.$
[/mm]
Rechne mal nach, ob das zu Deinem obigen Term passt, indem Du noch
[mm] $f(x)\,$ [/mm] und [mm] $g\,'(x)$ [/mm] einsetzt!
Genauer:
[mm] $f\,'(x)/g\,'(x)\equiv \frac{g\,'(x)}{g\,'(x)}*e^{\,-\,\sin(x)}\;-\;\cos(x)*\frac{f(x)}{(f(x)*e^{\sin(x)})'} \equiv [/mm] ...$
Und dabei, siehe unten, bitte nicht(!) [mm] $g\,'(x)/g\,'(x)$ [/mm] zu 1 kürzen!
Ich rechne gleich mal nach, ob Dein Term stimmen kann. Wenn ich ihn mir
plotten lasse, sieht das aus, als wenn [mm] $\lim_{x \to \infty}\text{Dein Term}$ [/mm] nicht
existieren würde.
> Und dass es nicht im Widerspruch zu L'Hospital steht:
> Zwar sind die Grenzwerte von f(x) und g(x) gleich, aber
> das Intervall geht von [mm](-\infty,\infty) [/mm], also ganz [mm]\IR[/mm].
> In der Definition aus der Vorlesung steht allerdings, dass
> dies bei Intervall (a,b) nur für [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm]
> gilt. Es steht nirgends etwas von b.
>
> Ist das der Widerspruch?
Nein, es kann nur sein, dass ihr den Satz noch nicht *ganz ausformuliert* habt
(so dass alle Varianten erfasst werden). Schau' einfach mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital,
welche Variante Du eventuell bräuchtest, die ihr nur noch nicht formuliert
habt.
Edit: Ich glaube auch eher, dass da ein Fehler in der Aufgabe drinsteckt. Ich
sehe nämlich nicht, wie das gehen soll, dass [mm] $\lim_{x \to \infty} (f\,'(x)/g\,'(x))=0$ [/mm] gelten
soll, und dann [mm] $\lim_{x \to \infty}(f(x)/g(x))$ [/mm] nicht existieren sollte; der Grenzwert
müßte dann auch =0 sein. Denn [mm] $f(x)=x+\sin(x)*cos(x)$ [/mm] ist diff'bar und
[mm] $g(x)=f(x)*e^{\sin(x)}$ [/mm] auch, und es liegt der Fall [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] vor. Wenn der
Grenzwert von [mm] $f\,'(x)/g\,'(x)$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] existiert (er darf auch [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$
[/mm]
sein), dann stimmt er mit dem GW von $f(x)/g(x)$ bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] überein. Ich
glaube eher: [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}$ [/mm] existiert nicht.
Korrektur: Vielleicht muss man mehr über die Nullstellen von [mm] $g\,'$
[/mm]
nachdenken!
D.h. bei [mm] $f\,'/g\,'$ [/mm] NICHT ZU VIEL RAUSKÜRZEN; bspw. wenn man
[mm] $\frac{x^2+x}{(x+7)*(x+1)}$
[/mm]
raushätte, sollte man [mm] $\frac{x+1}{x+1}*\frac{x}{x+7}$ [/mm] stehen lassen, und
nicht [mm] $x+1\,$ [/mm] wegkürzen, da andernfalls verschleiert würde, das der
ursprüngliche Term an [mm] $x=-1\,$ [/mm] gar nicht definiert war!
Ich gebe Dir aber schonmal den Tipp: Bei solchen Übungsaufgaben ist es
gar nicht so verkehrt, bevor man etwas rechnen/überlegen will, sich einfach
mal mithilfe eines Funktionsplotters einen Eindruck zu holen. Dabei sollte
man nur im Auge behalten, dass man immer nur ein endliches Stück des
Graphen der Funktion sieht - gegebenenfalls also auch *mal am sichtbaren
Definitionsbereich spielen*, d.h. den größer (hier in Richtung [mm] $+\infty$) [/mm] werden
lassen oder *einfach weiter nach rechts* verschieben.
P.S. Ganz gut finde ich dabei Funkyplot, weil man dort auch immer direkt
Ableitungen plotten lassen kann. So kann man auch seine eigenen
Berechnungen bzgl. Ableitungen schnell auf Rechenfehler testen, z.B. wenn
man [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] plottet, sich dann [mm] $f\,'(x)$ [/mm] plotten läßt und dann sein eigenes
Ergebnis - nehmen wir an, wir hätten uns vertan und auf [mm] $f\,'(x)=-\cos(x)$ [/mm] berechnet -
sagen wir [mm] $g(x)\,$, [/mm] auch plotten läßt, dann sollten die Graphen von [mm] $f\,'$ [/mm] und [mm] $g\,$
[/mm]
deckungsgleich sein.
Wie gesagt: Genaueres liefere ich gleich nach, weil ich gerade einfach zu
faul zum selberrechnen bin. Wenn Du magst, kannst Du aber auch gucken,
ob Du mit Wolframalpha Deine Rechnungen
selbst gegenchecken willst. So liefert Dir dort die Eingabe
d/dx(sin(x))
die Ausgabe
[mm] $\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 12.04.2015 | | Autor: | exos |
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich finde zwei Teilfolgen, die jeweils gegen einen anderen Wert konvergieren. Das ist zum einen [mm] $k\pi$, [/mm] bei der der GW = 1 ist und [mm] $\bruch{4k+1}{2}*\pi$ [/mm] ergibt den GW [mm] $\bruch{1}{e}$.
[/mm]
Oder sehe ich das falsch? Muss ich komplett andere Folgen suchen?
Bei der Ableitung hab ich den Fehler gefunden. Ich hatte beim Quotienten der Ableitungen $f'(x)$ einfach falsch.
Die Regel von L'Hospital hab ich nochmal nachgelesen. Als weitere Kandidaten für den fehlenden Widerspruch zur Regel:
- Man kann sich [mm] $+\infty$ [/mm] nicht von rechts nähern, was man laut der Regel allerdings müsste.
- f(x) und g(x) sind nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar
Ist dort der Widerspruch zu finden?
Viele Grüße, exosha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mo 13.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Ich finde zwei Teilfolgen, die jeweils gegen einen anderen
> Wert konvergieren. Das ist zum einen [mm]k\pi[/mm], bei der der GW =
> 1 ist und [mm]\bruch{4k+1}{2}*\pi[/mm] ergibt den GW [mm]\bruch{1}{e}[/mm].
> Oder sehe ich das falsch?
Nein.
> Muss ich komplett andere Folgen
> suchen?
>
> Bei der Ableitung hab ich den Fehler gefunden. Ich hatte
> beim Quotienten der Ableitungen [mm]f'(x)[/mm] einfach falsch.
>
> Die Regel von L'Hospital hab ich nochmal nachgelesen. Als
> weitere Kandidaten für den fehlenden Widerspruch zur
> Regel:
> - Man kann sich [mm]+\infty[/mm] nicht von rechts nähern, was man
> laut der Regel allerdings müsste.
Das ist doch Unfug !
> - f(x) und g(x) sind nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] differenzierbar
Ebenfalls Unfug !
>
> Ist dort der Widerspruch zu finden?
Nein.
FRED
>
> Viele Grüße, exosha
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mo 13.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Regel von L'Hospital hab ich nochmal nachgelesen. Als
> weitere Kandidaten für den fehlenden Widerspruch zur
> Regel:
> - Man kann sich [mm]+\infty[/mm] nicht von rechts nähern, was man
> laut der Regel allerdings müsste.
wie sollte dann der Fall [mm] "$\lim_{x \to +\infty}...$" [/mm] behandelt werden? Vielleicht liest Du dann
doch eher mal die Version, die ich kenne:
Satz 13.22
Beachte, dass da dabei steht: "Eine enstprechende Aussage gilt für $x [mm] \to [/mm] b^-$";
wobei auch [mm] $b=+\infty$ [/mm] erlaubt ist!
> - f(x) und g(x) sind nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] differenzierbar
>
> Ist dort der Widerspruch zu finden?
Nein, ich hatte doch den Hinweis gegeben: Bei
[mm] $\frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}$
[/mm]
steht im Satz von Hôpital drin, dass auch [mm] $g\,'(x)$ [/mm] (in unserem Fall jedenfalls ab
einem genügend großen [mm] $x_0$) [/mm] stets [mm] $\neq [/mm] 0$ sein soll.
Meistens schauen die Leute aber nur auf den Term
[mm] $\frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}$,
[/mm]
und bedenken dabei oft nicht, dass sie schon etwas weggekürzt haben.
Daher solltest Du aufpassen, dass Du "Nullstellen des Nenners nicht
verschleierst".
Anderes Beispiel: Für $x > 0$ ist der Term
[mm] $\frac{\sin(x)}{x*\sin(x)}$
[/mm]
an unendlich vielen Stellen nicht definiert. Das "verschleiert" man aber,
wenn man ihn zu
[mm] $\frac{1}{x}$
[/mm]
umschreibt. (Tatsächlich kann man das auch als *stetige Fortsetzung* an
"den Problemstellen" interpretieren.)
Vielleicht machen wir es so: Damit Du gar nicht erst in Versuchung kommst,
bei
[mm] $\frac{f\,'}{g\,'}$
[/mm]
etwas *wegzukürzen*, behandle [mm] $g\,'$ [/mm] separat und gebe mal alle Nullstellen
von [mm] $g\,'$ [/mm] an!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 13.04.2015 | | Autor: | exos |
Hallo nochmal,
danke, dass ihr soviel Geduld mit mir zeigt :)
Der Hinweis ist nun schon sehr deutlich.
Also nach meiner Rechnung:
$g'(x) = [mm] e^{sin(x)}cos(x)((x+sin(x)*cos(x))+2*cos(x))$
[/mm]
Dieser Term ist bei [mm] $\bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}... [/mm] $ Null. Der Satz in unserer VL besagt allerdings [mm] $g'(x)\not=0, \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b)$.
Dies gilt hier nicht.
Viele Grüße, Exos
EDIT: Eigentlich sollte in g'(x) e^sin(x) stehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mo 13.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> danke, dass ihr soviel Geduld mit mir zeigt :)
> Der Hinweis ist nun schon sehr deutlich.
>
> Also nach meiner Rechnung:
>
> [mm]g'(x) = e^{sin(x)}cos(x)((x+sin(x)*cos(x))+2*cos(x))[/mm]
das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber Du hattest es ja eh schonmal
kontrolliert - ich nehme an, dass Du das mit Wolframalpha gemacht hast.
> Dieser Term ist bei [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}...[/mm]
Tatsächlich ist er sogar für
[mm] $\frac{\pi}{2}+k*\pi$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ$ [/mm] (nicht nur $k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
=0.
> Null. Der Satz in unserer VL besagt allerdings [mm]g'(x)\not=0, \forall x \in (a,b)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> Dies gilt hier nicht.
Wichtig ist halt bei $x \to \infty$: Es gibt auch kein $x_0 \in \IR$ (man könnte o.E.
auch $x_0 > 0$ formulieren) so, dass $\left.g\,'\right|_{(x_0,\infty)}$ nullstellenfrei ist.
Denn anderenfalls könnte man vielleicht de l'Hôpital nicht direkt unter
Verwendung von $g\,'$, dafür aber unter Verwendung von $\left.g\,'\right|_{(x_0,\infty)}$
benutzen.
Das sollte Dir *als Standardargumentationsmethode* bekannt sein: Man
kann einen Satz vielleicht nicht direkt auf eine Funktion $f\,$ anwenden,
dafür aber eventuell auf eine gewisse Einschränkung von $f\,.$
>
> Viele Grüße, Exos
>
> EDIT: Eigentlich sollte in g'(x) e^sin(x) stehen
Das habe ich für Dich mal editiert - setze einfach geschweifte Klammern
um den Exponenten (und für's Studium ist es sicher gar nicht so verkehrt,
wenn Du Dich demnächst mal mit Latex beschäftigst, sofern es die Zeit
erlaubt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Di 14.04.2015 | | Autor: | exos |
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mo 13.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> - f(x) und g(x) sind nicht auf ganz [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
differenzierbar
Du solltest übrigens nicht raten. $f\,$ ist differenzierbar auf ganz $\IR$ (tatsächlich
würde es auch reichen, wenn für ein (genügend großes) $x_0$ hier $\left.f\right|_{(x_0,\,\infty)}$ differenzierbar
wäre), denn:
- $x \mapsto x$ ist diff'bar
- $x \mapsto \sin(x)$ ist ebenfalls diff'bar
- $x \mapsto \cos(x)$ ist ebenfalls diff'bar
Weil Summen und Produkte diff'barer Funktionen das auch sind, folgt sofort,
dass $f\,$ diff'bar ist.
- $x \mapsto e^{x}$ ist diff'bar
Weil Verkettungen diff'barer Funktionen das auch sind, folgt die Diff'barkeit
von $x \mapsto e^{\sin(x)}$.
Das "Produktargument" von oben liefert die Diff'barkeit von $g\,.$
P.S. "Diff'bar" bedeutet hier "diff'bar auf ganz $\IR$".
Gruß,
Marcel
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