Grenzwert im normierten Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\Vert\cdot\Vert) [/mm] ein (reeller oder komplexer) normierter Raum.
Zeige:
Aus [mm] \underbrace{\lim x_n=x}_{in\ X} [/mm] und [mm] \underbrace{\lim \lambda_n=\lambda}_{in\ \IK} [/mm] folgt [mm] \underbrace{\lim \lambda_nx_n=\lambda x}_{in\ X} [/mm] |
Hallo,
ja, obige Aussage erscheint einfach viel zu "trivial".
Folgende Überlegung:
Ich betrachte
[mm] \Vert\lambda_nx_n-\lambda x\Vert=\Vert\lambda_nx_n+\lambda_nx+\lambda_nx-\lambda [/mm] x [mm] \Vert
[/mm]
[mm] \le \Vert\lambda_n(x_n-x)\Vert+\Vert(\lambda_n-\lambda)x\Vert
[/mm]
[mm] =|\lambda_n|\Vert x_n-x\Vert+|\lambda_n-\lambda|\Vert x\Vert
[/mm]
Da nun [mm] x_n\to [/mm] x und [mm] \lambda_n\to\lambda [/mm] folgt letztendlich dass auch [mm] \lambda_nx_n\to\lambda [/mm] x
Passt das so, oder ist das total vorbei am Ziel?
Ich danke euch!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,\Vert\cdot\Vert)[/mm] ein (reeller oder komplexer)
> normierter Raum.
>
> Zeige:
> Aus [mm]\underbrace{\lim x_n=x}_{in\ X}[/mm] und [mm]\underbrace{\lim \lambda_n=\lambda}_{in\ \IK}[/mm]
> folgt [mm]\underbrace{\lim \lambda_nx_n=\lambda x}_{in\ X}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, obige Aussage erscheint einfach viel zu "trivial".
Für Dich vielleicht... , ich kenne genügend Mathematikstudenten, die an sowas scheitern.....
>
> Folgende Überlegung:
>
> Ich betrachte
>
> [mm]\Vert\lambda_nx_n-\lambda x\Vert=\Vert\lambda_nx_n+\lambda_nx+\lambda_nx-\lambda[/mm]
> x [mm]\Vert[/mm]
Oben hast Du einen Schreibfehler drin: richtig lautet es rechts:
[mm] $\Vert\lambda_nx_n-\lambda_nx+\lambda_nx-\lambda [/mm] x [mm] \Vert$
[/mm]
>
> [mm]\le \Vert\lambda_n(x_n-x)\Vert+\Vert(\lambda_n-\lambda)x\Vert[/mm]
>
> [mm]=|\lambda_n|\Vert x_n-x\Vert+|\lambda_n-\lambda|\Vert x\Vert[/mm]
>
> Da nun [mm]x_n\to[/mm] x und [mm]\lambda_n\to\lambda[/mm] folgt letztendlich
> dass auch [mm]\lambda_nx_n\to\lambda[/mm] x
>
> Passt das so,
Ja, passt prima
> oder ist das total vorbei am Ziel?
Nö
>
> Ich danke euch!
Bitteschön
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Do 17.10.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
ich danke dir, wie immer, für deine rasche und kompetente Antwort. Der kleine "Signum"-Fehler wurde ausgebessert.
Liebe Grüße
P.S.: Schön dich wieder hier zu sehen. Ich hoffe der Urlaub war erholsam!
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