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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert geometrischer Reihe
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Grenzwert geometrischer Reihe: Aufage+Lösung+Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mi 16.03.2005
Autor: bastue

Ja Servus !!!!!

Ich arbeite gerade meine letzte (verhaune) Linerare Algebra Klausur durch und seh irgendwie  kein Licht bei einem Grenzwert

[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k [/mm]    *    x^2k          ( |x| < 1


Die Lösung hab ich auch ... da wird die Summe erst in die Summe [mm] (-x^2)^k [/mm] umgewandelt aus dem dann das Ergebnis 1/ [mm] 1+x^2 [/mm] gefolgert wird...

Also in der ursprünglichen Summe... das ( [mm] -1)^k [/mm] .. tauscht ja immer das Vorzeichen .. also wird der ganze Term bei n gegen unendlich doch immer kleiner, weil |x| kleiner als 1 sein soll.
Also werden die zu aufsummierenden Terme immer kleiner richtig?
Warum kann man bei der Vereinfachung der Summe das ( [mm] -1)^k [/mm] einfach weglassen und wie schließt man von dieser auf den schließlichen Grenzwert... ich hab zwar die Konvergenzbereiche einer geometrischen Reihe vor mir,  sehe aber  nicht wie ich    das  (  1 /   1-q) was in meiner Formelsammlung steht, darauf anwenden kann ???



Grrrrruß Basti






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Grenzwert geometrischer Reihe: Umformen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mi 16.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Basti,

auch Dir hier zur späten Stunde [willkommenmr] !


> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^k[/mm] * x^2k          ( |x| < 1 )

Ich nehme mal an, Du meinst die unendliche Summe - also:

[mm] $\summe_{k=0}^{\red{\infty}} (-1)^k [/mm] *  [mm] x^{2k}$ [/mm]


Na, dann fassen wir doch mal die Folgenglieder [mm] $a_k$ [/mm] zusammen
(und verwenden dabei ein paar MBPotenzgesetze) :

[mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] x^{2k} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] \left(x^2\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1) * x^2\right]^k [/mm] \ = \ [mm] \left( - x^2 \right)^k [/mm] \ = \ [mm] q^k$ [/mm]


In Anlehnung an die geometrische Reihe konvergiert diese Reihe für:

[mm] $\left| \ - x^2 \ \right| [/mm] \ < \ 1$   [mm] $\gdw$ $\left| \ x \ \right| [/mm] \ < \ 1$    (erfüllt gemäß Aufgabenstellung)


Der Grenzwert dieser unendlichen geometrischen Reihe lautet ja:

[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$ [/mm]   (für $|q| \ < \ 1$)


Für unsere Aufgabe heißt das:

[mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \left( - x^2 \right)^{\blue{0}} [/mm] \ = \ 1$    (da unsere Zählervariable bei [mm] $\blue{k \ = \ 0}$ [/mm] startet.)

$q \ = \ - [mm] x^2$ [/mm]


Nun einfach in unsere Formel einsetzen:

[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1 - \left(-x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1 + x^2}$ [/mm]

Damit hätten wir auch Dein gewünschtes Ergebnis ...


Siehst Du nun klar(er) ??

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwert geometrischer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mi 16.03.2005
Autor: bastue

Ah HI !

Dank schön, habs glaube ich geblickt .....

hoff mal, dass es morgen früh auch noch so ist :)



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