Grenzwert f(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Fr 13.02.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Betimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi}tan(x)*tan\left(\bruch{1}{2}*x\right) [/mm] |
Muss ich mir hier gedanken darum machen, ob der links und rechtsseitige Grenzwert gleich sind?
denn [mm] \limes_{x\rightarrow\pi}tan(\bruch{1}{2}*x)=\pm \infty [/mm] oder?
doch dann könnte ich für [mm] \limes_{x\rightarrow\pi}tan(x)=\mp [/mm] 0 schreiben!?
Naja...
Ich probiere einfach mal L'Hospital anzuwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi}tan(x)*tan\left(\bruch{1}{2}*x\right)=\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{tan(x)}{\bruch{1}{tan(\bruch{1}{2}*x)}}=\bruch{\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}}{\bruch{\cos(\bruch{1}{2}*x)}{\sin(\bruch{1}{2}*x)}}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{\bruch{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}{\bruch{-\bruch{1}{2}*\sin^2(\bruch{1}{2}*x)-\bruch{1}{2}*\cos^2(\bruch{1}{2}*x)}{\sin^2(\bruch{1}{2}*x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{1+\bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}{-\bruch{1}{2}-\bruch{\cos^2(\bruch{1}{2}*x)}{2*\sin^2(\bruch{1}{2}*x)}}=\bruch{1+0}{-\bruch{1}{2}-0}=-2
[/mm]
Stimmt das so?
Danke und besten Gruß,
tedd 
|
|
| |
|
Hey,
ich habe keinen Fehler endeckt.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo tedd!
Hier mal ein Alternativweg ohne de l'Hospital:
$$\green{\tan(x)}*\blue{\tan\left(\bruch{x}{2}\right)}$$
$$= \ \green{\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}}*\blue{\bruch{\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right)}$$
$$= \ \bruch{\sin^2(x)}{\cos(x)*\left[1+\cos(x)\right]}$$
$$= \ \bruch{1-\cos^2(x)}{\cos(x)*\left[1+\cos(x)\right]}$$
$$= \ \bruch{\left[1-\cos(x)\right]*\left[1+\cos(x)\right]}{\cos(x)*\left[1+\cos(x)\right]}$$
$$= \ \bruch{1-\cos(x)}{\cos(x)}$$
$$= \ \bruch{1}{\cos(x)}-1$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Fr 13.02.2009 | | Autor: | tedd |
Cool!
Danke für die Antworten ! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
tedd
|
|
|
|
