Grenzwert einer Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabenstellung. |
Einen guten Abend wünsche ich euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Derzeitig besuche ich einen Mathe Vorkurs.
Da ich Mathe in der Oberstufe nur als Gk belegt hatte, sind mir Folgen und Grenzwerte unbekannt gewesen.
Nach dem Motto: Lern Schwimmen, oder ertrinke, wurden wir also ins klate Nass geschubst.
Ich verstehe was eine Folge ist. Ich verstehe auch, dass Folgen für bestimmte Zuordnungen (1/n bspw.) gegen einen Grenzwert laufen.
Wenn ich nun als Beispiel [mm] a_{n} [/mm] nehme, so bezeichnet doch n den Index (sehe ich das formal richtig?).
Warum schreibt unser Prof dann immer [mm] (a_{n})_{n}?
[/mm]
Wenn jedem Objekt in einer Reihe, eine Position zugeordnet ist, wofür benötige ich dann eine 2. Position (das n außerhalb der Klammer)?
Lässt man n für 1/n gegen unendlich laufen so ist es ja logisch, dass n immer größer wird und der Bruch dadurch immer kleiner wird.
Da die Operation eine Addition ist, folgt daraus, dass a an keiner Position n, 0 sein kann.
Der Grenzwert hierbei ist also 0.
Der Professor machte nun folgendermaßen weiter und definierte das konvergieren gegen a folgendermaßen:
Die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a , wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_{\varepsilon} [/mm] existiert, sodass [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n größer gleich [mm] N_{\varepsilon}.
[/mm]
Diese Definition ist nicht ganz einfach und ich würde gerne wissen, ob ich Teile richtig verstanden habe und wie diese zu stande kommen.
1. Man hat eine beliebige Folge [mm] a_{n} [/mm] mit einem Grenzwert a. -> Daraus kann ich doch folgern, dass eine Reihe ohne Grenzwert a nicht konvergieren kann, oder?
2. Man kann sich ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] suchen, dass >0 sein muss.
Sehe ich es richtig, dass [mm] \varepsilon [/mm] eine beliebige Variable ist, die in der Folge [mm] a_{n} [/mm] liegt?
3. Durch Hilfe von [mm] \varepsilon [/mm] kann man ein Intervall [mm] [a-\varepsilon, a+\varepsilon] [/mm] bilden.
In diesem Intervall soll es unendlich viele [mm] a_{n} [/mm] geben, die immer näher an a rücken, diesen aber nie erreichen.
Der Bereich außerhalb dieses obigen Intervalls wäre dann demnach doch endlich oder? Denn der Bereich außerhalb des Intervalls wäre abgegrenzt durch [mm] a-\varepsilon [/mm] bzw. [mm] a+\varepsilon. [/mm] Sehe ich das richtig so?
4.Es gilt [mm] \varepsilon>0, [/mm] da sonst [mm] a+\varepsilon= [/mm] a+0=a und das gleiche für -. In diesem Fall würde man den Grenzwert selbst als Bereich für [mm] a_{n}, [/mm] was jedoch ein Widerspruch wäre, da [mm] a_{n} [/mm] nicht auf a liegen kann, da dies der Grenzwert ist und [mm] a_{n} [/mm] diesen nicht erreicht,oder?
5.Was bedeutet der Teil: "wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_{\varepsilon} [/mm] existiert, sodass [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n größer gleich [mm] N_{\varepsilon}."
[/mm]
I) Sehe ich es richtig, dass [mm] N_{\varepsilon} [/mm] eine Menge von Werten ist, die jeweils für [mm] \varepsilon [/mm] n und somit [mm] a_{n} [/mm] näher definieren?
Sodass ich bspw sagen kann für [mm] \varepsilon_{1} [/mm] gilt [mm] \ge [/mm] 10000 für [mm] \varepsilon_{2} [/mm] gilt n [mm] \ge [/mm] 300000 etc.?
a) Wofür steht, dass [mm] |a_{n}-a| [/mm] und wie kommt man darauf?
Und warum muss dieser Betrag kleiner [mm] \varepsilon [/mm] sein.
b)Diese Substrahierung von 2 Positionen ergibt ja meist eine Distanz.
Wenn ich annehme, dass in meinem Intervall [mm] [a-\varepsilon, a+\varepsilon] [/mm] a der höchste Wert ist, der nie erreicht werden kann, und [mm] a_{n} [/mm] ein beliebig hoher Wert, der fasst auf a trifft, so ist doch rein logisch betrachtet [mm] a_{n} [/mm] in diesem Moment der höchste Wert in dem Intervall, da [mm] a_{n} [/mm] ja nicht den Wert a annehmen kann, sondern nur auf ihn zuläuft.
Normalerweise würde [mm] a_{n}-a [/mm] ja ausdrücken "welchen Wert bin ich von a entfernt".
Was hier jedoch [mm] a-a_{n} [/mm] ausdrückt verstehe ich nicht wirklich.
Fragen über Fragen. Aber mich beschäftigen diese Fragen wirklich.
Wenn ihr keine Lust habt auf meine einzelnen Teilfragen einzugehen, würde ich mich zumindestens über eigene Versuche zur Erklärung der Definition freuen bzw. gute Seiten verlinken?
Ich würde mich wirklich über Hilfe freuen.
Bitte entschuldigt, wenn dieser Beitrag gegen Ende unsauber formuliert ist, aber durch die ganzen Formelzeichen und nach über 10 Stunden Mathe fängt mein Gehirn an schlapp zu machen.
Gute Nacht
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> Keine konkrete Aufgabenstellung.
>
> Einen guten Abend wünsche ich euch.
Ich dir auch.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Derzeitig besuche ich einen Mathe Vorkurs.
> Da ich Mathe in der Oberstufe nur als Gk belegt hatte,
> sind mir Folgen und Grenzwerte unbekannt gewesen.
> Nach dem Motto: Lern Schwimmen, oder ertrinke, wurden wir
> also ins klate Nass geschubst.
>
> Ich verstehe was eine Folge ist. Ich verstehe auch, dass
> Folgen für bestimmte Zuordnungen (1/n bspw.) gegen einen
> Grenzwert laufen.
> Wenn ich nun als Beispiel [mm]a_{n}[/mm] nehme, so bezeichnet doch
> n den Index (sehe ich das formal richtig?). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Warum schreibt unser Prof dann immer [mm](a_{n})_{n}?[/mm]
n ist der Index. Das hast du richtig erkannt. Eigentlich schreibt man eine Folge komplett so:
[mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm]
Damit sagt man, dass die Indexmenge die natürlichen zahlen sind. Du solltest dich dran gewöhnen, das viele verschiedene Leute verschiedene Bezeichnungen haben. Ich interpretiere [mm](a_{n})_{n}[/mm] so, dass [mm](a_n)[/mm] auch den Eintrag an der Stelle n meinen könnte.
Genaugenommen ist ja eine Folge eine Abbildung, die jeder Zahl n eine andere Zahl zuordnet:
[mm]a : \IN \to X, n\mapsto a_n[/mm]
> Wenn jedem Objekt in einer Reihe, eine Position zugeordnet
> ist, wofür benötige ich dann eine 2. Position (das n
> außerhalb der Klammer)?
![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]") Vorsicht! Es gibt Folgen und es gibt Reihen.
Folge [mm](a_n)_n = (a_1,a_2,a_3,\ldots)[/mm]
Reihe entspricht [mm]a_1+a_2+a_3+\ldots[/mm] (im einfachsten Fall)
> Lässt man n für 1/n gegen unendlich laufen so ist es ja
> logisch, dass n immer größer wird und der Bruch dadurch
> immer kleiner wird.
> Da die Operation eine Addition ist, folgt daraus, dass a
> an keiner Position n, 0 sein kann.
Auch hier erscheint für mich Verwechselunggefahr zu herrschen.
[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Der Grenzwert hierbei ist also 0.
>
> Der Professor machte nun folgendermaßen weiter und
> definierte das konvergieren gegen a folgendermaßen:
>
> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a , wenn zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_{\varepsilon}[/mm] existiert, sodass
> [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n größer gleich
> [mm]N_{\varepsilon}.[/mm]
>
> Diese Definition ist nicht ganz einfach und ich würde
> gerne wissen, ob ich Teile richtig verstanden habe und wie
> diese zu stande kommen.
Erst einmal ist eine Definition eine Definition also eine Festlegung.
>
> 1. Man hat eine beliebige Folge [mm]a_{n}[/mm] mit einem Grenzwert
> a. -> Daraus kann ich doch folgern, dass eine Reihe ??? ohne
> Grenzwert a nicht konvergieren kann, oder?
Im Falle der Konvergenz konvergiert doch die Folge gegen den Grenzwert. Hat eine Folge einen Grenzwert, so ist sie doch konvergent. Das ist nur sprachlich anders formuliert.
Wenn du wirkliche als Reihe die Folge der Partialsumme [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} a_i[/mm] meinst, da kann die Reihe nicht konvergieren, falls [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} a_i \neq 0[/mm] (notwendig)
>
> 2. Man kann sich ein beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] suchen, dass >0
> sein muss.
> Sehe ich es richtig, dass [mm]\varepsilon[/mm] eine beliebige
> Variable ist, die in der Folge [mm]a_{n}[/mm] liegt?
Grundsätzlich liest man die Definition von links nach rechts:
Für den Grenzwert ist sie ja. Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] hat den Grenzwert [mm]a[/mm], falls gilt: [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N_\varepsilon \in \IN \forall n\geq N\varepsilon : |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
Da das [mm]\varepsilon[/mm] ganz links steht, hängt es von ABSOLUT NICHTS ab, also liegt auch nicht zwangsweise in der Folge. Es ist halt eine beliebige Zahl >0.
>
> 3. Durch Hilfe von [mm]\varepsilon[/mm] kann man ein Intervall
> [mm][a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm] bilden.
> In diesem Intervall soll es unendlich viele (Glieder)[mm]a_{n}[/mm] geben,
> die immer näher an a rücken, diesen aber nie erreichen.
Die geometrische Interpretation stimmt nicht ganz. Die Folge [mm]a_n=3\,[/mm] ist die konstante Folge [mm](3,3,3,3,\ldots)[/mm] Sie konvergiert gegen 3 und erreicht die 3 bei jedem Glied.
> Der Bereich außerhalb dieses obigen Intervalls wäre dann
> demnach doch endlich oder?
Naja das ist schlecht formuliert. Eher liegen nur endlich viele Glieder der betrachteten Folge außerhalb dieses Intervalls.
> Denn der Bereich außerhalb des
> Intervalls wäre abgegrenzt durch [mm]a-\varepsilon[/mm] bzw.
> [mm]a+\varepsilon.[/mm] Sehe ich das richtig so?
> 4.Es gilt [mm]\varepsilon>0,[/mm] da sonst [mm]a+\varepsilon=[/mm] a+0=a und
In der Definition steht [mm]\varepsilon > 0[/mm] weil es so definiert wurde. Der Grund liegt (wahrscheinlich) darin, das die Betragsfunktion [mm]|*| : \IR \to [0,\infty)[/mm]. Außerdem würden die Beweise alle nicht gehen.
> das gleiche für -. In diesem Fall würde man den Grenzwert
> selbst als Bereich für [mm]a_{n},[/mm] was jedoch ein Widerspruch
> wäre, da [mm]a_{n}[/mm] nicht auf a liegen kann, da dies der
> Grenzwert ist und [mm]a_{n}[/mm] diesen nicht erreicht,oder?
>
> 5.Was bedeutet der Teil: "wenn zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]N_{\varepsilon}[/mm] existiert, sodass [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle n größer gleich [mm]N_{\varepsilon}[/mm]
>
> I) Sehe ich es richtig, dass [mm] N_{\varepsilon} [/mm] eine Menge von Werten ist, die jeweils für [mm] \varepsilon [/mm] n und somit [mm] a_{n} [/mm] näher definieren?
Nein! [mm]N_\varepsilon[/mm] ist eine natürliche Zahl. Ab dieser Zahl als Index kommst du in dein Intervall, dass unendlich viele Glieder der Folge beherbergt.
Sodass ich bspw sagen kann für [mm] \varepsilon_{1} [/mm] gilt [mm] \ge [/mm] 10000 für [mm] \varepsilon_{2} [/mm] gilt n [mm] \ge [/mm] 300000 etc.?
Richtig ist, dass dein [mm]N_\varepsilon[/mm] von [mm]\varepsilon[/mm] abhängen darf.
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> a) Wofür steht, dass [mm]|a_{n}-a|[/mm] und wie kommt man darauf?
> Und warum muss dieser Betrag kleiner [mm]\varepsilon[/mm] sein.
Das ist eine Definitionssache! Schau es dir geometrisch an. mach dir klar, dass [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] gleichbedeutend mit dem Intervall [mm][a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm] ist.
>
> b)Diese Substrahierung von 2 Positionen zum Betrag ergibt ja meist
> eine Distanz.
Salopp formuliert: Ja.
> Wenn ich annehme, dass in meinem Intervall [mm][a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm]
> a der höchste Wert ist, der nie erreicht (ist ja nun falsch) werden kann, und
> [mm]a_{n}[/mm] ein beliebig hoher Wert, der fasst auf a trifft, so
> ist doch rein logisch betrachtet [mm]a_{n}[/mm] in diesem Moment der
> höchste Wert in dem Intervall, da [mm]a_{n}[/mm] ja nicht den Wert
> a annehmen kann, sondern nur auf ihn zuläuft.
Hat sich ja erledig. Noch einmal: Die [mm]a_n[/mm] müssen nicht im endlichen den Grenzwert erreichen, können ihn aber im endlichen erreichen (konstante Folge)
>
> Normalerweise würde [mm]a_{n}-a[/mm] ja ausdrücken "welchen Wert
> bin ich von a entfernt".
Nein da fehlt der Betrag!
> Was hier jedoch [mm]a-a_{n}[/mm] ausdrückt verstehe ich nicht
> wirklich.
Wie gesagt es ist mit den Betragszeichen gleichbedeutend zu deinem Intervall.
[mm] $|a_n-a|<\varepsilon \Rightarrow a-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] a+\varepsilon$ [/mm] (gilt erst ab [mm] $n\geq N_\varepsilon$
[/mm]
>
> Fragen über Fragen. Aber mich beschäftigen diese Fragen
> wirklich.
> Wenn ihr keine Lust habt auf meine einzelnen Teilfragen
> einzugehen, würde ich mich zumindestens über eigene
> Versuche zur Erklärung der Definition freuen bzw. gute
> Seiten verlinken?
>
> Ich würde mich wirklich über Hilfe freuen.
> Bitte entschuldigt, wenn dieser Beitrag gegen Ende
> unsauber formuliert ist, aber durch die ganzen
> Formelzeichen und nach über 10 Stunden Mathe fängt mein
> Gehirn an schlapp zu machen.
>
> Gute Nacht
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Hallo und danke für die schnelle, sowie gute Hilfe.
Zunächst möchte ich mich für die Verwechslung von Reihen und Folgen entschuldigen. Ich hatte Folgen im Kopf und schrieb Reihen auf. Dies tut mir Leid :/
Danke für das Beispiel mit [mm] a_{n}=3. [/mm] Es hat mir sehr geholfen zu verstehen, dass ein Grenzwert auch erreicht werden kann.
Ich bin eigentlich ganze Zeit von Fuktionen wie 1/n ausgegangen.
Zunächst habe ich [mm] N_{\varepsilon} [/mm] als eine natürliche Zahl betrachtet. Jedoch war ich verwirrt, da hier ein groß N verwendet wurde und ich daraus auf Mengen geschlossen habe. Danke für die Korrektur :)
Nun habe ich mir nochmal Videos bei youtube angeschaut und mir auch bildlich veranschaut wie [mm] a-\varepsilon [/mm] bzw. [mm] a+\varepsilon [/mm] ausschaut.
Habe ich es (bildlich) richtig verstanden, dass ab [mm] N_{\varepsilon} [/mm] ein "Schlauch" um den Grenzwert läuft, der alle
[mm] a_{n} [/mm] für n [mm] \ge N_{\varepsilon} [/mm] fasst.
Nun sagte man uns man kann [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein wählen.
Damit verkleinert man doch eigentlich nur die Menge an [mm] a_{n} [/mm] und rückt somit auf einen hohen Index n oder?
Sehe ich es richtig, dass je größer [mm] \varepsilon [/mm] bei 1/n gewählt wird, destso größer auch [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon, [/mm] für alle n [mm] \ge N_{/varepsilon}?
[/mm]
Denn je größer mein Epsilon gewählt wird, destso größer ist ja auch der Bereich, in dem [mm] a_{n} [/mm] liegt. Dadurch habe ich doch eine größere Menge an [mm] a_{n} [/mm] jedoch eine geringere "Dichte"?
Wir haben gestern mit den Folgen angefangen und ich bin heute ziemlich verwirrt gewesen. Zwar haben meine Kommolitonen dies auch überhaupt nicht verstanden (auch die, die Mathe Lk hatten), jedoch fühle ich mich leicht verunsichert und etwas blöde.
Kriegt man mit der Zeit Gefühl für soetwas? Oder bin ich ein hoffnungsloser Fall?~~
Danke nochmals für die Antwort. Du hast mir sehr geholfen.
Im Übrigen falls es üblich sein sollte in diesem Board, "Sie " zu nutzen, dann sprecht mich bitte drauf an.
Über eine Antwort würde ich mich freuen.
Gute Nacht
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> Hallo und danke für die schnelle, sowie gute Hilfe.
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> Zunächst möchte ich mich für die Verwechslung von Reihen
> und Folgen entschuldigen. Ich hatte Folgen im Kopf und
> schrieb Reihen auf. Dies tut mir Leid :/
Hier brauch sich keiner entschuldigen.
> Danke für das Beispiel mit [mm]a_{n}=3.[/mm] Es hat mir sehr
> geholfen zu verstehen, dass ein Grenzwert auch erreicht
> werden kann.
> Ich bin eigentlich ganze Zeit von Fuktionen wie 1/n
> ausgegangen.
>
> Zunächst habe ich [mm]N_{\varepsilon}[/mm] als eine natürliche
> Zahl betrachtet. Jedoch war ich verwirrt, da hier ein groß
> N verwendet wurde und ich daraus auf Mengen geschlossen
> habe. Danke für die Korrektur :)
Im Forster wird statt [mm]N_\varepsilon[/mm] nur [mm]N\,[/mm] genommen. Allgemein nimmt man auch ein kleines n, also [mm]n_\varepsilon[/mm]
>
> Nun habe ich mir nochmal Videos bei youtube angeschaut und
> mir auch bildlich veranschaut wie [mm]a-\varepsilon[/mm] bzw.
> [mm]a+\varepsilon[/mm] ausschaut.
> Habe ich es (bildlich) richtig verstanden, dass ab
> [mm]N_{\varepsilon}[/mm] ein "Schlauch" um den Grenzwert läuft, der
Der Radius des Schlauches ist dann wohl eher [mm]\varepsilon[/mm].
> alle
> [mm]a_{n}[/mm] für n [mm]\ge N_{\varepsilon}[/mm] fasst.
>
> Nun sagte man uns man kann [mm]\varepsilon[/mm] beliebig klein
> wählen.
> Damit verkleinert man doch eigentlich nur die Menge an
> [mm]a_{n}[/mm] und rückt somit auf einen hohen Index n oder?
Ja das [mm]N,N_\varepsilon,n_\varepsilon[/mm] wird höher und damit gilt es erst ab höheren Indizies.
> Sehe ich es richtig, dass je größer [mm]\varepsilon[/mm] bei 1/n
> gewählt wird, destso größer auch [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon,[/mm]
Ja der Schlauch wird vom Durchmesser größer, dann passt auch mehr Wasser hinein 
> für alle n [mm]\ge N_{\varepsilon}?[/mm]
> Denn je größer mein
> Epsilon gewählt wird, destso größer ist ja auch der
> Bereich, in dem [mm]a_{n}[/mm] liegt. Dadurch habe ich doch eine
> größere Menge an [mm]a_{n}[/mm] jedoch eine geringere "Dichte"?
Naja beim dem Begriff Dichte solltest du vorsichtig sein. Wenn du dir die Gedanken machst, vergess bitte in der geometrischen Anschauung nicht, dass die alles erst ab Indizies größer gleich [mm]N,N_\varepsilon,n_\varepsilon[/mm] gilt
>
> Wir haben gestern mit den Folgen angefangen und ich bin
> heute ziemlich verwirrt gewesen.
Der Vorkurs soll den Einstieg erleichtern. Es kommt meistens noch einmal alles in der Vorlesung in komprimierter Form dran.
> Zwar haben meine
> Kommolitonen dies auch überhaupt nicht verstanden (auch
> die, die Mathe Lk hatten), jedoch fühle ich mich leicht
> verunsichert und etwas blöde.
> Kriegt man mit der Zeit Gefühl für soetwas? Oder bin ich
> ein hoffnungsloser Fall?~~
Was möchtest du hören? Ganz persönlich Meinung von mir ist. Man muss Mathe nicht von Anfang an können sondern lieben.
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> Danke nochmals für die Antwort. Du hast mir sehr
> geholfen.
> Im Übrigen falls es üblich sein sollte in diesem Board,
> "Sie " zu nutzen, dann sprecht mich bitte drauf an.
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> Über eine Antwort würde ich mich freuen.
> Gute Nacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Do 07.10.2010 | | Autor: | Masseltof |
Danke vielmals :).
Ich finde Mathe persönlich ganz interessant und bin einfach fasziniert von den Ideen, die manche Leute haben. Einfach genial.
Danke nochmals. Gute Nacht :)
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