Grenzwert einer Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 20.01.2005 | | Autor: | TimBuktu |
Servus, komm bei dem problem hier grad net weiter.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}+...+\bruch{1}{n+n}\right)=ln2
[/mm]
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Do 20.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
taufe den Klammerausdruck aud den Namen $s(n)$, betrachte $s(n+1)-s(n)$ um den Grenzwert in eine Reihe umzuformen, und Du bekommst eine ziemlich bekannte alternierende Reihe.
Das muss erst mal reichen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
Peter
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Hallo!
Da hast du dir eine kniffelige Aufgabe ausgesucht.
Also:
Für eine stetige Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall von 0 bis 1 gilt:
[mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n}*\summe_{j=1}^{n}f(\bruch{j}{n}) = \integral_{0}^{1} f(x)\,dx[/mm].
Diesen Satz kann man beweisen (mache ich jetzt aber nicht).
Diesen brauchst Du, um Deine Beh. zu zeigen.
Mit diesem Wissen gilt nun:
[mm]\limes_{n \to \infty} \summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{j+n} = \limes_{n \to \infty} \summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{\bruch{j}{n}+1}[/mm].
Definiere dann [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x}[/mm].
f ist also auf dem kompakten Intervall von 0 bis 1 stetig. Damit gilt dann:
[mm]\limes_{n \to \infty} \summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{\bruch{j}{n}+1}=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{1+x}\,dx = \ln(1+1)-\ln(1+0) = \ln(2)[/mm].
Soweit gibt es keinen einfacheren Weg als diesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:02 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi [mm] $\wurzel{\pi}$
[/mm]
bei den beiden [mm] $\summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{\bruch{j}{n}+1}$ [/mm] hast Du vergessen, den bereits herausgezogenen Faktor [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] davor zu schreiben (war ja auch schon nach 22 Uhr  ).
Gruß, Peter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:06 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Liebe Leuts,
ich habe versehentlich das falsch Knöppsken angeklickt und sehe auf die Schnelle nicht, wie ich den Status meiner letzten Frage in den eines Hinweises umwandle. Also:
u.A.w.n.g.
Sorry,
Peter
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