Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge mit [mm] \lim_{n \to \infty}x_n = x[/mm]
Zeigen Sie: Dann gilt: [mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}x_k = x[/mm] |
Als Tipp wurde mir gegeben:
Teile die Summe bei einem N in zwei Summen auf und schätze diese mit dem Grenzwertkriterium gegen Epsilon/2 ab.
Ich verstehe insgesamt schon, was diese Reihe "macht", kann aber mit der Abschätzung nichts anfangen. Es wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mo 30.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst für deinen Tip noch benutzen, dass du N so wählen kannst, dass [mm] |xn-x|<\epsilon_1 [/mm] ist, wobei du am Ende [mm] \epsilon_1 [/mm] geschickt wählen kannst um die Restsumme [mm] <\epsilon [/mm] zu machen.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
Also Zerlege ich die Summe erst einmal in
[mm]\bruch{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1} x_k[/mm] und
[mm]\bruch{1}{n}\sum_{k=N}^{n} x_k[/mm]
wenn ich jetzt [mm]\left| x_k-x \right|[/mm] bilden soll, ist dann [mm]x_k[/mm] die ganze Teilsumme? Ich denke man muß die Beträge [mm]\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm] abschätzen um zuletzt auf [mm]\epsilon[/mm] zu kommen.
Die Beträge werden für größere [mm]k[/mm] immer kleiner, aber das bringt mir ja eigentlich nichts für eine Abschätzung nach oben, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 01.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
>
> Also Zerlege ich die Summe erst einmal in
>
> [mm]\bruch{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1} x_k[/mm] und
>
> [mm]\bruch{1}{n}\sum_{k=N}^{n} x_k[/mm]
>
> wenn ich jetzt [mm]\left| x_k-x \right|[/mm] bilden soll, ist dann
> [mm]x_k[/mm] die ganze Teilsumme? Ich denke man muß die Beträge
> [mm]\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm] abschätzen um zuletzt auf [mm]\epsilon[/mm]
> zu kommen.
Also [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] ist eine gute Idee. Wenn du $N$ so waehlst, dass fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|x_n [/mm] - x| < [mm] \varepsilon/2$, [/mm] versuch doch mal etwas ueber [mm] $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k [/mm] - x = [mm] \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k [/mm] - x)$ mit $n [mm] \ge [/mm] N$ auszusagen (aufteilen in zwei Summen!).
LG Felix
|
|
|
| |
|
dann hätte ich ja etwas in der Form:
[mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}(x_k-x)=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{N-1}(x_k-x) + \bruch{1}{n}\summe_{k=N}^{n}(x_k-x)[/mm]
aber ich verstehe nicht, wie ich mittels [mm]n\ge N[/mm] eine Aussage hinsichtlich [mm]\le \epsilon[/mm] hinbekomme. Ich kann doch nur sagen, daß der zweite Summand kleiner als der erste ist, und das ist doch sie falsche Richtung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Di 01.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> dann hätte ich ja etwas in der Form:
>
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}(x_k-x)=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{N-1}(x_k-x) + \bruch{1}{n}\summe_{k=N}^{n}(x_k-x)[/mm]
>
> aber ich verstehe nicht, wie ich mittels [mm]n\ge N[/mm] eine
> Aussage hinsichtlich [mm]\le \epsilon[/mm] hinbekomme. Ich kann doch
> nur sagen, daß der zweite Summand kleiner als der erste
> ist, und das ist doch sie falsche Richtung?
Na, der erste Summand geht fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] offensichtlich gegen 0.
Und der zweite Summand ist fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ vom Betrag nach oben durch [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] beschraenkt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ok, der erste Sumand ist klar, aber wieso kann ich davon ausgehen, dass der zweite Summand nach oben durch [mm] \bruch{\epsilon}{2}[/mm] beschränkt ist? Hätte das nicht auch für die ganze Summe gegolten?
Ich verstehe nicht, wie sich durch die Aufteilung ein Vorteil ergibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wieviel Summanden hast du von N+1 bis n?
2. jeder einzelne [mm] ist<\epsilon/2 [/mm]
wie gross ist die Summe/n dann höchsten
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Zu 1.: ich habe (n-N) Summanden, da meine Summe ja von N+1 bis n läuft
Zu 2.: Wenn jeder einzelne Summand [mm]\le \bruch{\epsilon}{2}[/mm] ist, dann kann die Summe/n nur [mm]\le 1-\bruch{N}{n} \bruch{\epsilon}{2}[/mm] sein, aber das ergibt für mich keinen Sinn.
Ich hab wohl das sprichwörtliche Brett vorm Kopf...
|
|
|
| |
|
Ach so, meinst Du:
[mm]1-\bruch{N}{n} \bruch{\epsilon}{2}\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm], weil [mm]1-\bruch{N}{n}[/mm] ja kleiner als 1 sein muß, da [mm]N \le n[/mm] ist?
(ich meine jeweils "kleiner" und nicht "kleiner - gleich", hab aber leider keine Ahnung wie man es darstellt)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie du es geschrieben hast ist es falsch, es fehlt ne Klammer:> Ach so, meinst Du:
>
> [mm]1-\bruch{N}{n} \bruch{\epsilon}{2}\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm],
falsch, richtig
[mm](1-\bruch{N}{n}) \bruch{\epsilon}{2}\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm]
> weil [mm]1-\bruch{N}{n}[/mm] ja kleiner als 1 sein muß, da [mm]N \le n[/mm]
> ist?
ja mit Klammer richtig
> (ich meine jeweils "kleiner" und nicht "kleiner - gleich",
> hab aber leider keine Ahnung wie man es darstellt)
einfach das < Zeichen der Tastatur (meist links neben y)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Super, jetzt ist der Groschen gefallen! Vielen dank!
|
|
|
|
