Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{4}}{3^k} [/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo,
ich habe hier das Quotientenkriterium benutzt, also
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | Die Betragsstriche kann ich weglassen, da die Reihe stets positiv ist.
Also: (direkt den Doppelbruch umgeformt)
[mm] \bruch{(k+1)^{4}}{3^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch{3^k}{k^4}
[/mm]
Jetzt kann ich kürzen:
[mm] \bruch{(k+1)^4}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k^4}
[/mm]
[mm] (k+1)^4 [/mm] ausgeklammert und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] aus dem Bruch rausgezogen
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{k^4+4k^4+6k^2+4k+1}{k^4}
[/mm]
k^⁴ faktorisieren und dann kürzen
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{k^4(1+\bruch{4k^3}{k^4} + \bruch{6k^2}{k^4} + \bruch{4k}{k^4} + \bruch{1}{k^4})}{k^4}
[/mm]
Am Ende kommt [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus. Wo ist der Fehler?
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 07.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo pc_doctor!
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{4}}{3^k}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?
> Hallo,
> ich habe hier das Quotientenkriterium benutzt, also
> | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] | Die Betragsstriche kann ich
> weglassen, da die Reihe stets positiv ist.
>
> Also: (direkt den Doppelbruch umgeformt)
>
> [mm]\bruch{(k+1)^{4}}{3^{k+1}}[/mm] * [mm]\bruch{3^k}{k^4}[/mm]
>
> Jetzt kann ich kürzen:
>
> [mm]\bruch{(k+1)^4}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{k^4}[/mm]
>
> [mm](k+1)^4[/mm] ausgeklammert und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus dem Bruch
> rausgezogen
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{k^4+4k^4+6k^2+4k+1}{k^4}[/mm]
Tippfehler: [mm] $4k^3\$ [/mm] statt [mm] $4k^4\$.
[/mm]
> k^⁴ faktorisieren und dann kürzen
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{k^4(1+\bruch{4k^3}{k^4} + \bruch{6k^2}{k^4} + \bruch{4k}{k^4} + \bruch{1}{k^4})}{k^4}[/mm]
>
> Am Ende kommt [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus.
Ja, das ist der Grenzwert für [mm] $k\to\infty$.
[/mm]
> Wo ist der Fehler?
Es gibt keinen Fehler. Du hast gezeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{4}}{3^k} [/mm] konvergiert.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mo 07.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo Die Acht,
die Aufgabe war es, zu prüfen, ob die Reihen konvergent bzw. divergent sind.
Dann ist die Lösung falsch, denn dort steht 15. Vielen Dank für deine Kontrolle. Schönen Abend noch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mo 07.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
> die Aufgabe war es, zu prüfen, ob die Reihen konvergent
> bzw. divergent sind.
Okay.
> Dann ist die Lösung falsch, denn dort steht 15.
Das kann aber nicht Zufall sein. 
1) Du hast den Titel deiner Frage mit "Grenzwert einer Reihe" bezeichnet.
2) Der Grenzwert der Reihe ist in der Tat 15.
Selbstverständlich kann man auch den Grenzwert explizit berechnen!
Dazu empfehle ich klein anzufangen:
Sei [mm] $|q|<1\$.
[/mm]
1) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$.
[/mm]
2) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k*q^k=\ldots$.
[/mm]
3) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^2*q^k=\ldots$.
[/mm]
4) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^3*q^k=\ldots$.
[/mm]
5) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^4*q^k=\ldots$.
[/mm]
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Hallo nochmal,
und was soll [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dann sein ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 07.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
> und was soll [mm]\bruch{1}{3}[/mm] dann sein?
Quotientenkriterium wiederholen!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:08 Mo 07.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Achso stimmt, das habe ich vergessen.
<1 und so.
Okay, dann muss ich aber jetzt eine Bildungsvorschrift finden, um den lim dieser Reihe zu bestimmen. Mit dem Quotientenkriterium habe ich nur bewiesen, dass sie konvergiert. Okay, der Titel war zwar richtig, aber meine Rechnung unvollständig.
Könntest du mir einen Tipp für die Bildungsvorschrift geben?
Es fängt so an: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{16}{9} [/mm] + [mm] \bruch{81}{27} [/mm] + [mm] \bruch{256}{81} [/mm] ..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mo 07.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Einen Tipp habe ich dir bereits gegeben!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Einen Tipp habe ich dir bereits gegeben!
Ich werfe nochmal das Wort "Ableitung" in den Raum ;)
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