Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 02.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2} [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich des Grenzwerts/Konvergenznachweis der oben genannten Reihe und dem Summenzeichen.
Ein notwendiges Konvergenzkriterium ist es das die Glieder einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden. Das ist in dem Fall gegeben [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist eine Nullfolge.
Das ist aber nur ein notwendiges und kein hinreichendes Konvergenzkriterium.
Ich möchte jetzt die Reihe irgendwie umformen das ich anhand von bekannten Reihen (Geometrische Reihe, Harmonische Reihe, Teleskopreihe) und den Rechenregeln für konvergente Reihen einen Grenzwert berechnen/abschätzen kann. Leider hänge ich an diesem Schritt fest.
Ich habe mir schon überlegt die Summe so zu schreiben: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(n+1)^2} [/mm] aber ich war mir nicht sicher ob ich das so umformen kann. K "ändert" sich ja auch bei steigendem n oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 So 02.11.2014 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2}[/mm]
> Hallo,
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> ich habe eine Frage bezüglich des
> Grenzwerts/Konvergenznachweis der oben genannten Reihe und
> dem Summenzeichen.
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> Ein notwendiges Konvergenzkriterium ist es das die Glieder
> einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden. Das ist in
> dem Fall gegeben [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Das ist aber nur ein notwendiges und kein hinreichendes
> Konvergenzkriterium.
>
> Ich möchte jetzt die Reihe irgendwie umformen das ich
> anhand von bekannten Reihen (Geometrische Reihe,
> Harmonische Reihe, Teleskopreihe) und den Rechenregeln für
> konvergente Reihen einen Grenzwert berechnen/abschätzen
> kann. Leider hänge ich an diesem Schritt fest.
>
> Ich habe mir schon überlegt die Summe so zu schreiben:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] aber ich war mir nicht
> sicher ob ich das so umformen kann. K "ändert" sich ja
> auch bei steigendem n oder nicht?
Hallo,
du müsstest eine Indexverschiebung machen, außerdem läuft der Summationsindex doch gegen unendlich?
Einfacher: Schätze [mm]\bruch{1}{(n+k)^2}<\bruch{1}{(n+k)*(n+k-1)}[/mm] ab.
Das gibt dann eine schöne Teleskopsumme.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 02.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
"außerdem läuft der Summationsindex doch gegen unendlich?"
Ja klar! Mein Gott, was hab ich mir da gedacht. Meine Umformung macht natürlich keinen Sinn.
Ist es legitim eine Abschätzung zu machen? Ich dachte man muss einen konkreten Grenzwert errechnen?
Könntest du das mit der Teleskopsumme nochmal erklären. Das ist alles relativ neu für mich also konnte ich deiner Argumentation nicht ganz folgen. Tut mir leid.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mo 03.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach eine Partialbruchzerlegung A/(n+k)*B(n+k-1) bestimme A,B und daraus dann die die Summe, D leduartann nimm ein ähnlichen Bruch der kleiner ist. die wirkliche Summe muss dann dazwischen liegen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage bezüglich des
> Grenzwerts/Konvergenznachweis der oben genannten Reihe und
> dem Summenzeichen.
>
> Ein notwendiges Konvergenzkriterium ist es das die Glieder
> einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden. Das ist in
> dem Fall gegeben [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Das ist aber nur ein notwendiges und kein hinreichendes
> Konvergenzkriterium.
>
> Ich möchte jetzt die Reihe irgendwie umformen das ich
> anhand von bekannten Reihen (Geometrische Reihe,
> Harmonische Reihe, Teleskopreihe) und den Rechenregeln für
> konvergente Reihen einen Grenzwert berechnen/abschätzen
> kann. Leider hänge ich an diesem Schritt fest.
>
> Ich habe mir schon überlegt die Summe so zu schreiben:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] aber ich war mir nicht
> sicher ob ich das so umformen kann. K "ändert" sich ja
> auch bei steigendem n oder nicht?
Setze [mm] a_n:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2}. [/mm] Dann haben wir, wegen [mm] \bruch{1}{(n+k)^2} \le \bruch{1}{n^2}:
[/mm]
0 [mm] \le a_n \le n*\bruch{1}{n^2}=\bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Di 04.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke! Bin dann auch selber auf die Antwort gekommen und habe ganz vergessen mich noch zu bedanken. Also Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage bezüglich des
> Grenzwerts/Konvergenznachweis der oben genannten Reihe und
> dem Summenzeichen.
>
> Ein notwendiges Konvergenzkriterium ist es das die Glieder
> einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden. Das ist in
> dem Fall gegeben [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Das ist aber nur ein notwendiges und kein hinreichendes
> Konvergenzkriterium.
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> Ich möchte jetzt die Reihe irgendwie umformen das ich
> anhand von bekannten Reihen (Geometrische Reihe,
> Harmonische Reihe, Teleskopreihe) und den Rechenregeln für
> konvergente Reihen einen Grenzwert berechnen/abschätzen
> kann. Leider hänge ich an diesem Schritt fest.
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> Ich habe mir schon überlegt die Summe so zu schreiben:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] aber ich war mir nicht
> sicher ob ich das so umformen kann. K "ändert" sich ja
> auch bei steigendem n oder nicht?
Noch eine möglichkeit: es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(n+k)^2}=\bruch{1}{n}*S_n, [/mm] wobei
[mm] S_n=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(1+\bruch{k}
{n})^2}
[/mm]
[mm] (S_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(1+x)^2} dx}
[/mm]
FRED
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