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| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Die Funktion [mm] f:\mathbb [/mm] R [mm] \backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb [/mm] R [mm] :x\mapsto x^2sin\frac{1}{x} [/mm] ist an der Stelle x=0 nicht definiert. Skizieren Sie den Graphen der Funktion und "lesen" Sie den Grenzwert daraus ab. Zeigen Sie dann mit der Definition, dass dies der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle ist. (Definieren Sie dazu eine geeignete Menge mit einer Richtung.) |
Man sieht recht deutlich, dass der Grenzwert an der Stelle x=0 0 ist.
Ich habe aber ein Problem mit der Definition der Menge mit Richtung.
Könnte ich hier die Menge wählen.
[mm] (\mathbb [/mm] R^+ , [mm] \succ)
[/mm]
und als Richtung:
x [mm] \succ [/mm] y = x<y ~ (x,y [mm] \in \mathbb [/mm] R ^+)
Unsere Definition des Grenzwertes lautet:
[mm] \forall \epsilon \in\mathbb [/mm] R ^+ [mm] \exists x_0\in [/mm] X ~ [mm] \forall x\in [/mm] X: [mm] x\succ x_0 \rightarrow |f(x)-\alpha [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Dann würde ich zu
| [mm] x^2sin\frac{1}{x}-0 [/mm] | = [mm] |x^2sin\frac{1}{x}|=x^2sin\frac{1}{x}
[mm] x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e}
[/mm]
[mm] x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e} \\ x<\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{sin\frac{1}{x}}} \\ x<\sqrt{\frac{e}{sin\frac{1}{x}}}
[/mm]
Das sieht dann aber schon recht komisch aus.
Ich bräuchte hier also evtl. ein wenig Hilfe!
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Hallo Nadelspitze,
das sieht doch soweit ganz gut aus.
> Aufgabenstellung:
> Die Funktion [mm]f:\mathbb[/mm] R [mm]\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb[/mm]
> R [mm]:x\mapsto x^2sin\frac{1}{x}[/mm] ist an der Stelle x=0 nicht
> definiert. Skizieren Sie den Graphen der Funktion und
> "lesen" Sie den Grenzwert daraus ab. Zeigen Sie dann mit
> der Definition, dass dies der Grenzwert der Funktion an
> dieser Stelle ist. (Definieren Sie dazu eine geeignete
> Menge mit einer Richtung.)
>
> Man sieht recht deutlich, dass der Grenzwert an der Stelle
> x=0 0 ist.
>
> Ich habe aber ein Problem mit der Definition der Menge mit
> Richtung.
>
> Könnte ich hier die Menge wählen.
> [mm](\mathbb[/mm] R^+ , [mm]\succ)[/mm]
>
> und als Richtung:
> x [mm]\succ[/mm] y = x<y ~="" (x,y="" <span="" class="math">[mm]\in \mathbb[/mm] R ^+)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Unsere Definition des Grenzwertes lautet:
> [mm]\forall \epsilon \in\mathbb[/mm] R ^+ [mm]\exists x_0\in[/mm] X ~
> [mm]\forall x\in[/mm] X: [mm]x\succ x_0 \rightarrow |f(x)-\alpha[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Dann würde ich zu
> | [mm]x^2sin\frac{1}{x}-0[/mm] | =
> [mm]|x^2sin\frac{1}{x}|=x^2sin\frac{1}{x}
Achtung: der Sinus nimmt innerhalb jeder noch so kleinen [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um 0 beliebig oft negative Werte an!
> [mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e}[/mm]
> [mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e} \\
x<\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{sin\frac{1}{x}}} \\
x<\sqrt{\frac{e}{sin\frac{1}{x}}}[/mm]
Diese Abschätzungskette verstehe ich nicht. Wie kommst Du darauf?
> Das sieht dann aber schon recht komisch aus.
> Ich bräuchte hier also evtl. ein wenig Hilfe!
Versuch mal [mm] \left|x^2\sin{\left(\bruch{1}{x}\right)}\right|\le x^2
[/mm]
Grüße
reverend
</y>
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> Hallo Nadelspitze,
>
> das sieht doch soweit ganz gut aus.
Das beruhigt :)
> > Könnte ich hier die Menge wählen.
> > [mm](\mathbb[/mm] R^+ , [mm]\succ)[/mm]
> >
> > und als Richtung:
> > x [mm]\succ[/mm] y = x<y ~="" (x,y="" <span="" class="math">[mm]\in \mathbb[/mm]
> R ^+)
>
>
Hier hat wohl die Übertragung aus einem anderen Forum einiges durcheinander gebracht... Die Idee ist, dass ich die Teilmenge des R+ Betrachte und mich dann mit x<y der 0 aus dem Positiven annähere.
x [mm]\succ[/mm] y := x<y (x,y [mm] \in \IR^{+} [/mm] )
> > Unsere Definition des Grenzwertes lautet:
[mm]\forall \epsilon \in\IR^{+} \exists x_0\in X \forall x\in X: x\succ x_0 \rightarrow |f(x)-\alpha | < \epsilon[/mm]
> >
> > Dann würde ich zu
> > | [mm]x^2sin\frac{1}{x}-0[/mm] | =
> > [mm]|x^2sin\frac{1}{x}|=x^2sin\frac{1}{x}
>
> Achtung: der Sinus nimmt innerhalb jeder noch so kleinen
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] um 0 beliebig oft negative Werte an!
Auch wenn x immer Positiv ist? Hab das im Taschenrechner probiert aber da hatte ich immer positive Zahlen (was für mich auch Sinn machen würde)
> > [mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e}[/mm]
> > [mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e} \\
x<\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{sin\frac{1}{x}}} \\
x<\sqrt{\frac{e}{sin\frac{1}{x}}}[/mm]
>
> Diese Abschätzungskette verstehe ich nicht. Wie kommst Du
> darauf?
Das Frage ich mich gerade auch... auch hier scheint es wieder ein Problem in der Übertragug gegeben zu haben. Bzw fehlen da einfach Zeilenumbrüche...
eigentlich multipliziere ich nur mit [mm] 1/sin\frac{1}{x}
[/mm]
[mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e}[/mm]
[mm]x\sqrt{sin\frac{1}{x}}<\sqrt{e}[/mm]
[mm]x<\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{sin\frac{1}{x}}} [/mm]
[mm]x<\sqrt{\frac{e}{sin\frac{1}{x}}}[/mm]
> > Das sieht dann aber schon recht komisch aus.
> > Ich bräuchte hier also evtl. ein wenig Hilfe!
>
> Versuch mal
> [mm]\left|x^2\sin{\left(\bruch{1}{x}\right)}\right|\le x^2[/mm]
Da die Sinusfunktion max 1 hat, ist natürlich klar, dass diese Aussage gilt.
Würde das heißen, ich könnte hier einfach annehmen, das x kleiner als wurzel Epsilon gelten muss für alle [mm] x
Dann könnte ich mir ja tatsächlich das gesamte umformen sparen
> Grüße
> reverend
> </y>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(1/x) für x zwischen 1 ud 0 nimmt x alle werte zwischen 1 und unendlich an! also wird sin(1/x) beliebig oft o, -1,+1 und alles dazwischen
setz etwa [mm] x=2/\pi [/mm] ; [mm] 2/(2\pi); 1/\pi 2/5\pi 2/7\pi
[/mm]
richtig ist dass [mm] |sin(1/x)/\le [/mm] 1
Gruss leduart
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Super, Danke bis hier hin schonmal. Ich hatte x durchweg besonders klein gewählt da ich dachte, da ich ja ohnehin gegen 0 möchte... Aber du hast natürlich recht.
Werde hier morgen sicher noch einmal posten denke aber eine Idee zu haben. Nun fallen mir aber fast die Augen zu.
Danke für deine Hilfe, die mich gerade um einen großen Schritt nach vorn gebracht hat!
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Sorry,
Hatte das früher immer mal gemacht und hatte das irgendwie vergessen. "Damals" gab es glaub ich auch immer noch eine Abfrage vorm Posten...
Ich werde mich aber wieder daran besinnen.
Tut mir leid!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Dir wurde ja schon einiges gesagt. Ich muß auch noch was loswerden:
1. Ihr habt also den Grenzwert für Funktionen mit Netzen eingeführt , und das (so nehme ich an) im ersten Semester.
http://de.wikipedia.org/wiki/Netz_(Topologie)
Richte Deinem Dozenten aus, dass er mächtig was an der Klatsche hat. Man glaubt es nicht ! Ich halte das für ein Schwerverbrechen an jungen Menschen, die Hochschulmathematik lernen wollen und sollen. Mit solchen hochtrabenden Konzepten hat man schon einige junge Leute dazu gebracht, ihr Studium an den Nagel zu hängen.
Das Konzept der "Netzkonvergenz" ist in allgemeinen topologischen Räumen sehr nützlich. Aber schon im metrischen Räumen ist es völlig überflüssig. Wenn man als Dozent seinen Studenten den Grenzwerbegriff für reellwertige Funktionen einer reellen Variablen nahebringen will, so ist obiges Konzept nur eines: völliger Schwachsinn.
2. In der Aufgabe heißt es: "Definieren Sie dazu eine geeignete Menge mit einer Richtung."
Als Menge nimm [mm] \IR \setminus \{0\} [/mm] und als Richtung (weil es sich um den Grenzwert von f in [mm] \xi=0 [/mm] handelt):
x $ [mm] \succ [/mm] $ y [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |y|.
FRED
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