Grenzwert einer Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 06.04.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^2}{n^2+1} [/mm] = 1 |
Ich übe gerade an ein paar Beispielen die Konvergenz von Folgen. Und wollte mich vergewissern, dass meine Lösung so korrekt ist bzw. wo ein Fehler liegt.
Hier meine Lösung:
Behauptung: Die Folge [mm] (\bruch{(n+1)^2}{n^2+1})_{n \in \IN_{+}} [/mm] konvergiert gegen 1.
Beweis: Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wähle N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N>\bruch{2}{\varepsilon}
[/mm]
Dann gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N:
[mm] |\bruch{(n+1)^2}{n^2+1} [/mm] - 1| = [mm] |\bruch{n^2+2n+1}{n^2+1}-1| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2+2n+1}{n^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^2+1}{n^2+1}| [/mm] = [mm] |\bruch{2n}{n^2+1}| \le |\bruch{2n}{n^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2}{n}| [/mm] = [mm] \bruch{2}{n} \le \bruch{2}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens !
FRED
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