Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.
y ist eine positive reelle Zahl. Folge [mm] a_{n} [/mm] ist folgendermaßen def.:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}*(\wurzel{y*n}+1)/n+1
[/mm]
Ich soll den Grenzwert a von [mm] a_{n} [/mm] bestimmen.
Formal ist mir auch klar, was ich machen soll:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = a
Aber wie ist die Vorgehensweise genau?
Dankeschön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe folgende Aufgabe.
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> y ist eine positive reelle Zahl. Folge [mm]a_{n}[/mm] ist
> folgendermaßen def.:
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> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n}*(\wurzel{y*n}+1)/n+1[/mm]
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> Ich soll den Grenzwert a von [mm]a_{n}[/mm] bestimmen.
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> Formal ist mir auch klar, was ich machen soll:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = a
>
> Aber wie ist die Vorgehensweise genau?
>
> Dankeschön.
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Ich nehme an , die Folge heißt so:
$ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{n}\cdot{}(\wurzel{y\cdot{}n}+1)/(n+1) [/mm] $
Überlege Dir, dass
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{n\wurzel{y}+\wurzel{n}}{n+1}$ [/mm]
Jetzt im Zähler und im Nenner n ausklammern
FRED
ist.
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[mm] \bruch{n*\wurzel{y}+n^{1/2}}{n*(1 + 1/n)} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{y}+n^{1/2}}{(1 + 1/n)} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{y}}{(1 + \wurzel{n})}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{n*\wurzel{y}+n^{1/2}}{n*(1 + 1/n)}[/mm] =
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> [mm]\bruch{\wurzel{y}+n^{1/2}}{(1 + 1/n)}[/mm] =
>
>
> [mm]\bruch{\wurzel{y}}{(1 + \wurzel{n})}[/mm]
>
>
Das stimmt hinten und vorne nicht !
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n\wurzel{y}+\wurzel{n}}{n+1} [/mm] $ = [mm] $\bruch{n(\wurzel{y}+1/\wurzel{n})}{n(1+1/n)} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{y}+1/\wurzel{n}}{1+1/n}$
[/mm]
Wogegen strebt das, wenn n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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also, wenn ich das mal rein logisch sehe
[mm] \bruch{\wurzel{y}+ eine sehr kleine Zahl}{1+ eine sehr kleine Zahl}
[/mm]
wenn man die beiden kleinen Zahlen vernachlässigt, weil 1,000001 ja auch ungefähr 1 und [mm] \wurzel{y}+1 [/mm] auch ungefähr [mm] \wurzel{y} [/mm] ist:
der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \wurzel{y}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt ...
Gruß
Loddar
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