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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert einer Folge
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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Di 16.12.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert. (für reelle Konstanten a, c [mm] \in \IR) [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{sin\left(c*(sin(x)-sin(a))\right)}{sin(x)-sin(a)} [/mm]

Ich komm hier bei der Anwendung von L'Hospital nicht ganz weiter.

[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{sin\left(c*(sin(x)-sin(a))\right)}{sin(x)-sin(a)}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=... [/mm]

[mm] f(x)=sin\left(c*(sin(x)-sin(a))\right) [/mm]

Dachte eigentlich ich könnte mittlerweile gut ableiten...[keineahnung]

Kann ich schreiben:

[mm] f(x)=sin*\left(c*sin(x)-c*sin(a))\right)=sin(u) [/mm]

[mm] (u(x))'=\left(c*sin(x)-c*sin(a))\right)'=c*cos(x)? [/mm]

Dann wäre [mm] f'(x)=c*cos(x)*cos\left(c*sin(x)-c*sin(a))\right) [/mm]

und

$ (g(x))'=(sin(x)-sin(a))'=cos(x) $

dann gäbe

[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{sin\left(c*(sin(x)-sin(a))\right)}{sin(x)-sin(a)}=... [/mm]
[mm] \underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{c*cos(x)*cos\left(c*sin(x)-c*sin(a))\right)}{cos(x)}=\bruch{c*cos(a)}{1}=c*cos(a) [/mm]

Ableitung richtig gemacht?

Danke und Gruß,
tedd :-)
        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Di 16.12.2008
Autor: Roadrunner

Hallo tedd!


Die Ableitungen sehen gut aus. Allerdings machst Du ganz am Ende bei der Grenzwertbetrachtung einen Fehler. Dort muss es heißen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{c*\cos(\red{0})}{1} [/mm] \ = \ c*1 \ = \ c$$

Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Di 16.12.2008
Autor: fred97

Es geht auch ohne "Holzhammer" (l'Hospital):

Der Fall c=0 dürfte klar sein.

Sei also c [mm] \not= [/mm] 0.

Setze g(x) = c(sinx-sina). Dann gilt g(x) --> 0 (x --> a)

Dann

[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{sin\left(c\cdot{}(sin(x)-sin(a))\right)}{sin(x)-sin(a)} [/mm]  = [mm] \limes_{x\rightarrow a}c\bruch{sin(g(x))}{g(x)} [/mm] = c

(wegen [mm] \bruch{sint}{t} [/mm] --> 1 (t --> 0))

FRED
Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Di 16.12.2008
Autor: tedd

Danke für's drüberschauen ihr 2! [ok]

Habe mich am Ende tatsächlich vertan, dann müsste es ja richtig heissen:

$ [mm] ...=\bruch{c\cdot{}cos(a)\cdot{}cos\left(c\cdot{}sin(a)-c\cdot{}sin(a))\right)}{cos(a)}=\bruch{c\cdot{}cos(a)\cdot{}cos(0)}{cos(a)}=c [/mm]

Die Methode ohne L'Hospital habe ich noch nicht ganz vertstanden, werde ich mir nachher zu hause nochmal anschauen :-)

Danke für die Hilfe.

Gruß,
tedd

Bezug
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