Grenzwert einer Folge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Folgen und bekomme einfache Folgen auch einigermaßen hin.
wie z.B.
[mm] \bruch{\wurzel{2n^2 +1}}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n \wurzel{2 +\bruch{1}{n^2}}}{n (1+ \bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
jedoch weiß ich nicht wie ich bei n im exponenten oder [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] vorgehen muss vielleicht kann mir jemand helfen und ein allg. kochrezept geben.
hier zwei beispielaufgaben die ich nicht hinbekomme.
1. [mm] \bruch{n}{3^n}
[/mm]
2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^m}=1 [/mm]
[mm] m\in\IN
[/mm]
mfg Aldi
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[mm]\bruch{\wurzel{2n^2 +1}}{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{n \wurzel{2 +\bruch{1}{n^2}}}{n (1+ \bruch{1}{n})} = \wurzel{2}[/mm]
Das ist falsch! Was du meinst, ist
[mm]\frac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n+1} = \frac{n \sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}}{n \left( 1 + \frac{1}{n} \right)} = \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}}{1 + \frac{1}{n}} \to \sqrt{2} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty[/mm]
Dann schreibe es auch so!
Bei [mm]\frac{n}{3^n}[/mm] mußt du verwenden, daß [mm]3^n[/mm] viel stärker wächst als [mm]n[/mm].
Du könntest z.B. im Zähler [mm]n \leq 2^n[/mm] abschätzen (Beweis dieser Ungleichung durch Induktion).
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> Hallo,
Hey,
zu Teil 2.)
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^m}=1[/mm]
> [mm]m\in\IN[/mm]
>
Es gilt: [mm] \wurzel[n]{n^m}=n^{\frac{m}{n}}= e^{ln(n^{\frac{m}{n}})^} [/mm] = [mm] e^{\frac{m}{n}*ln(n)}=e^{\frac{m*ln(n)}{n}}
[/mm]
Nun für den Grenzwert des Exponenten l'Hospital verwenden, damit kommst du auf [mm] e^0=1.
[/mm]
>
> mfg Aldi
Gruß Patrick
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Für 2. schlage ich eine nicht ganz so brutale Alternative vor:
Bezeichnen wir den Überschuß von [mm]n^{\frac{1}{n}}[/mm] über [mm]1[/mm] mit [mm]\delta_n[/mm], also
[mm]n^{\frac{1}{n}} = 1 + \delta_n[/mm]
so folgt für [mm]n \geq 2[/mm] nach dem großen binomischen Lehrsatz:
[mm]n = \left( 1 + \delta_n \right)^n = 1 + n \delta_n + \frac{n(n-1)}{2} \delta_n^{\, 2} + \ldots \geq \frac{n(n-1)}{2} \delta_n^{\, 2}[/mm]
Die Ungleichung kann man nach [mm]\delta_n[/mm] auflösen. Was folgt hieraus für [mm]n \to \infty[/mm]?
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