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Hallo,
ich soll den Grenzwert der Folge:
[mm] u_{n} [/mm] = (1 + [mm] \frac{1}{n^{2}})^{n}
[/mm]
ermitteln.
Wunderbar. Ich habe einiges ausprobiert (Bernoulli, mit Nullfolgen einschließen), bis ich bei dieser Lösung angekommen bin. Nun möchte ich wissen, ob die so richtig ist.
Zur Lösung habe ich den "Einschnürungssatz" benutzt:
Stebt [mm] a_{n} [/mm] gegen a und [mm] b_{n} [/mm] gegen a und ist fast immer [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n} [/mm] so strebt auch [mm] c_{n} [/mm] gegen a.
Ich habe zwei Folgen "gebastelt", deren Grenzwerte identisch sind und habe mit diesen meine Folge [mm] u_{n} [/mm] "eingeschnürt".
1 < [mm] (1+\frac{1}{n^{2}}) [/mm] < [mm] (1+\frac{1}{n})
[/mm]
Da [mm] a_{n} [/mm] = 1 gegen 1 strebt und [mm] b_{n} [/mm] = [mm] (1+\frac{1}{n}) [/mm] ebenso muss auch [mm] (1+\frac{1}{n^{2}}) [/mm] gegen 1 streben.
[mm] 1^{n} [/mm] < [mm] (1+\frac{1}{n^{2}})^{n} [/mm] = [mm] u_{n} [/mm] < [mm] (1+\frac{1}{n})^{n}
[/mm]
Aber jetzt wird das ja wieder "falsch", da nun [mm] (1+\frac{1}{n})^{n} [/mm] nicht gegen 1 sondern gegen e strebt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 04.12.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo abi2007LK,
> ich soll den Grenzwert der Folge:
>
> [mm]u_{n}[/mm] = (1 + [mm]\frac{1}{n^{2}})^{n}[/mm]
>
> ermitteln.
Ich frage mich so langsam, warum diese Folge so beliebt ist. 
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich wills mal ohne e-fkt versuchen !
Profs lieben die Bernoulli Ungl! also immer mal sehen, die anzuwenden!
[mm] (1+1/n^2)^n \le (\bruch{1}{(1-1/n^2)})^n [/mm] < [mm] (\bruch{1}{(1-n/n^2)}) [/mm]
also ganz einfach!
Gruss leduart
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Vielen Dank! Das mit der Bernoulli-Ungleichung ist mir klar.
Ich habe aber noch eine Frage dazu:
$ [mm] (1+1/n^2)^n \le (\bruch{1}{(1-1/n^2)})^n [/mm] $
Wie kommst Du darauf!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 05.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
multiplizier mit dem Nenner und du hast [mm] 0<(1-1/n^4)<1 [/mm] für n>1
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 06.12.2007 | | Autor: | derpepe |
Perfekt, vielen Dank :)
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Hallo, schreib's doch so um:
[mm] \wurzel[n]{ ((1 + \frac{1}{n^{2}})^{n})^{n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ (1 + \frac{1}{n^{2}})^{n^2}}
[/mm]
Jetzt müsste man sehen was passiert.
LG
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Danke für Deine Antwort!
Ich nehme mal an, dass Du darauf raus willst, dass $ (1 + [mm] \frac{1}{n^{2}})^{n^2} [/mm] $ gegen e konvergiert.
Dann muss ich aber nochmal nachfragen:
Ich kann doch nicht sagen, dass die "innere Folge" $ (1 + [mm] \frac{1}{n^{2}})^{n^2} [/mm] $ gegen e konvergiert und dann anschließend folgern, dass, weil die n-te Wurzel aus einer Konstante (e) gegen 1 geht, $ [mm] \wurzel[n]{ (1 + \frac{1}{n^{2}})^{n^2}} [/mm] $ gegen 1 konvergiert?
Oder wolltest Du auf etwas anderes raus? Oder versteh ich da was noch nicht?
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Genau so hab' ich's eigentlich gemeint. Die innere Folge konvergiert gegen eine Konstante (e), dann ist es doch einleuchtend, dass die n-te Wurzel daraus gegen 1 konvergiert. Da gibt's sicher nen tollen Satz der das sicherstellt (hab' ich nicht parat im Moment), aber anschaulich ist es klar.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 05.12.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Ich finde das anschaulich leider nicht so klar, weil man mit gleicher Begründung ja auch sagen könnte, dass, wenn man die ursprüngliche Aufgabe betrachtet, $ [mm] 1/n^2 [/mm] $ gegen 0 konvergiert und damit $ [mm] (1+(1/n^2))^n [/mm] $ offensichtlich gegen 1 konvergiert.
Das Problem ist die n-te Wurzel, weil da das n vorkommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 05.12.2007 | | Autor: | safrazap |
Da gibt's ja aber schon nen Unterschied. Bei deinem Beispiel wird ja etwas das gegen 1 strebt immer häufiger mit sich selbst multipliziert. Und was da raus kommt ist natürlich nicht klar. Die Frgae ist halt, wie schnell strebt der Term gegen 1.
Aber wir suchen etwas, das , wenn man es immer häufiger mit sich selbst malnimmt e ergibt. Und das kann nur die 1 sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Salomon |
Hallo.
Es gibt da den schönen Satz, das [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 wenn n [mm] \to \infty. [/mm]
Beweis ist knuffig, aber nicht zuuu schwer.
(Setze [mm] x_{n}:= \wurzel[n]{n} [/mm] - 1. [mm] (x_{n} \ge [/mm] 0)
Da n = [mm] (\wurzel[n]{n})^{n} [/mm] ist und man es auch so schreiben kann: n = (1 + [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - [mm] 1)^{n} [/mm] = ( 1 + [mm] x_{n})^{n}
[/mm]
Jetzt ein wenig mit Binomialformel rumspielen, hier und da abschätzen und das war's!
So, noch etwas: Konvergenz "aufzuspalten" ist schlimm, wenn man mehrere abhängige Variablen drin hat.
Also: Bei Konvergenz IMMER Folge als Ganzes betrachten!!!!
Man kann irgendwie rumfriemeln bzw. abschätzen, dass 's klappt ;)
Gruß Salomon!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 05.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Argument find ich geradezu abenteuerlich! es läuft auf [mm] lim\limes_{n\rightarrow\infty}1^n=e [/mm] raus?
Gruss leduart
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Ganz ganz einfach:
[mm] a_n [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n^{2}})^{n} [/mm] = ((1 + [mm] \bruch{1}{n^{2}})^{n^{2}})^{\bruch{1}{n}} [/mm]
(1 + [mm] \bruch{1}{n^{2}})^{n^{2}} [/mm] konvergiert gegen e
Und [mm] a_n [/mm] entsprechend gegen 1, da es gilt [mm] e^{1/n}
[/mm]
Unschön, aber simpel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Salomon |
Hi MuhKuh,
schau mal was ich oben geschrieben habe.
"Unschön" ist noch untertrieben,...Deine gedankliche - ich formuliere es mal so ;) - "Annahme" die Folge einzeln zu betrachten, kann GANZ schön nach hinten losgehen:
Beispiel (DAS Standartbeispiel): [mm] n*\bruch{1}{n} [/mm] kann man ja darstellen als:
[mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n}
[/mm]
n-mal halt!
Jetzt lass n [mm] \to \infty [/mm] gehen...hmm? Ja, dann konvergiert das Ding gegen 0!!!
Aber [mm] n*\bruch{1}{n} [/mm] ist 1!
Ok?
Viele Grüße
Salomon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Fr 07.12.2007 | | Autor: | safrazap |
Hallo Salomon,
ich verstehe deinen Vergleich nicht. Wir haben ja [mm] \Wurzel[n]{e}, [/mm] und das ist kein unbestimmter Ausdruck, das kannn ur gegen 1 gehen.
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