Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge [mm] (a_{n})_n_\in_\IN [/mm] und geben Sie ein N [mm] \in \IN [/mm] an, so dass [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] 10^{-3} [/mm] für n > N gilt. Dabei ist [mm] a_n:
[/mm]
a) [mm] \bruch{6n-2}{3n+7}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] |
Hallo an alle!
Die obige Aufgabe ist eine die wir heute in Analysis aufbekommen haben. Jetzt meine Frage: Wie gehe ich an dieses Beispiel heran? Wie bestimme ich einen Grenzwert und was ist ein solcher? Und was bedeutet: [mm] |a_n [/mm] - a| zwischen diesen geraden Strichen? Ist das der Grenzwert?
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe!
Lg Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Gilga |
Grenzwert: gegen welche Wert strebt eine Folge wenn n gegen unendlich geht.
Bestimmung: Bei dieser Aufgabe gehts kann einfach:
a) Bei sehr großen n sind -2 und +7 irrelevant. Teile den Bruch einfach durch n, dann sieht man was am ende übrig bleibt.
|x| Das ist der Betrag. Also der Absolutwert von x. In diesem Fall die Abweichung von einem Folgenelement zum Grenzwert.
z.B. bei n=10 |1/(4*10)-0|=1/40
b) analog.
TIPP: Lies im Vorlesungsskript die Definitionen nach oder frag wikipedia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines!
> Wie bestimme ich einen Grenzwert und was ist ein solcher?
Der Grenzwert $a_$ einer Folge [mm] $a_n$ [/mm] (zwei Folgen [mm] $a_n$ [/mm] hast Du in der Aufgabenstellung gegeben) gibt denjenigen Zahlenwert an, an denen sich für große $n_$ alle darauffolgenden Folgenglieder beliebig annähern (ohne ihn allerdings erreichen zu müssen).
> Und was bedeutet: [mm]|a_n - a|[/mm] zwischen diesen geraden Strichen?
Diese gerade Striche sind Betragsstriche und geben sozusagen den Abstand zwischen den Folgengliedern [mm] $a_n$ [/mm] und dem Grenzwert $a_$ an. Dieser Abstand kann nun beliebeig klein (nahe an Null) gewählt werden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Zum Betrag:
Der Betrag einer Zahl ist folgendermaßen definiert (Vorlesung!):
|x| := [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
An Beispielen:
|3| = 3 |-2| = 2 |0| = 0
Wenn die Zahl im Betrag also negativ ist, rechnet man mal (-1), um sie positiv zu machen.
Am Zahlenstrahl kann der Betrag so immer den Abstand angeben:
x y
| <-- |x - y| --> |
------------------------------
So ist der Abstand zwischen 3 und 7 = |3 - 7| = |-4| = 4
So ist der Abstand zwischen 9 und -3 = |9 - (-3)| = |12| = 12
Zum Grenzwert:
Allgemein verständlich wie schon oben von Loddar:
Welchem Wert nähert sich die Folge immer mehr an, wenn n unendlich wird? Dieser Wert wird als Grenzwert bezeichnet.
Sicher habt ihr auch die allgemeine Definition gehabt:
"Für alle beliebig kleinen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N."
(Hier ist [mm] a_{n} [/mm] die Folge, a der Grenzwert)
Auf Deutsch:
Stell dir die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] vor.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}; \bruch{1}{2}; \bruch{1}{3}; \bruch{1}{4}; \bruch{1}{5}; \bruch{1}{6}; \bruch{1}{7}; [/mm] ... --> 0
Diese Folge beginnt bei [mm] a_{1} [/mm] = 1, der Wert wird mit immer größer werdendem n aber immer kleiner und strebt gegen 0.
Gewissermaßen sagt die Definition nun Folgenden:
Wir legen einen Schlauch um den von uns bestimmten Grenzwert ( hier 0 ), der den Radius [mm] \varepsilon [/mm] hat.
Wenn nun ab einem bestimmten Folgenglied von [mm] a_{n} [/mm] alle Folgenglieder in diesem Schlauch liegen (Der Abstand zwischen dem Folgenglied und dem Grenzwert also kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist = [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon), [/mm] ist die Definition vom Grenzwert erfüllt und die Folge hat einen Grenzwert.
Beispiel zur Verdeutlichung:
1. Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
2. Nun muss gelten: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
3. Prüfen wir mal (Grenzwert a wurde von uns mit 0 bestimmt):
[mm] |\bruch{1}{n} [/mm] - 0| < [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{1}{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
Den Betrag kann man weglassen, denn [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist immer positiv.
[mm] \gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
Wir rechnen mal n und mal 1000000:
[mm] \gdw [/mm] 1000000 < n
AHA! Ab n = 1000001 liegen alle Folgenglieder im [mm] \varepsilon [/mm] - Schlauch! Ich habe also zu einem beliebig klein gewähltem [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000000} [/mm] ein N [mm] \in \IN, [/mm] nämlich N = 1000000 gefunden, sodass [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N gilt.
Wenn man einen bestimmten Grenzwert nachweisen soll, reicht es natürlich nicht, sich ein [mm] \varepsilon [/mm] rauszusuchen, sondern man muss es für ein beliebig kleines zeigen!
Zur Berechnung des Grenzwertes:
Man errechnet den Grenzwert folgendermaßen:
1. Am Anfang kann man noch ein paar Zahlenfolge-Glieder aufschreiben, um zu überprüfen, was der Grenzwert ungefähr sein wird. Anhand dieser Vorüberlegung muss man nun unterscheiden:
1.1 Wir wollen zeigen, dass die Folge nicht konvergiert, sich also keinem bestimmten Wert annähert. Zum Beispiel [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] oder [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{10} [/mm] oder [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] nähern sich keinem bestimmten Wert an, sondern wachsen entweder ins Unendliche (Beispiel 1 und 2) oder pendeln immer zwischen 2 Werten hin und her (Beispiel 3).
-Beispiel: [mm] \bruch{n^{2}+4n+7}{3n-10} [/mm] divergiert.
-Klammere oben und unten n aus (eine Potenz niedriger als die höchste von n, die man im Bruch findet)
Es entsteht:
[mm] \bruch{n*(n + 4 + \bruch{7}{n})}{n*(3 - \bruch{10}{n})}
[/mm]
Nun kürzen!
[mm] \bruch{n + 4 + \bruch{7}{n}}{3 - \bruch{10}{n}}
[/mm]
Nun kannst du folgendermaßen argumentieren: Wenn n gegen unendlich geht, wird der Nenner des Bruches konstant werden:
3 - [mm] \bruch{10}{n} [/mm] --> 3 (n --> [mm] \infty)
[/mm]
Der Zähler allerdings wird durch das n unendlich groß für unendlich große n.
--> Es gibt keinen Grenzwert.
1.2 Wir wollen zeigen, dass die Folge konvergiert.
für a)
-Beispiel: [mm] \bruch{6n - 2}{3n + 7} [/mm] konvergiert.
-Klammere oben und unten n aus (die höchste Potenz von n, die man im Bruch findet)
Es entsteht:
[mm] \bruch{n*(6 - \bruch{2}{n})}{n*(3 + \bruch{7}{n})}
[/mm]
Nun kürzen!
[mm] \bruch{6 - \bruch{2}{n}}{3 + \bruch{7}{n}}
[/mm]
Wieder folgendermaßen argumentieren: Die Folgen [mm] \bruch{2}{n} [/mm] und [mm] \bruch{7}{n} [/mm] im Term werden für unendlich große n sich immer weiter 0 annähern.
Also ergibt sich für den Bruch:
[mm] \bruch{6}{3} [/mm] = 2 als Grenzwert.
für b)
-Beispiel: [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] konvergiert.
Hier muss man nicht viel machen: Man sieht schon, für große n wird der Bruch sich immer mehr 0 annähern. Der Grenzwert ist also 0.
Zum Finden des N's benutze das Verfahren, dass am Ende von "Zum Grenzwert" beschrieben habe:
1. Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] (Hier aufgrund deiner Aufgabe [mm] 10^{-3})
[/mm]
2. Nun muss gelten: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000000}
[/mm]
für a) Setze deine jeweilige Folge und den Grenzwert ein [ZIEL: Gleichung nach n auflösen!]:
[mm] |\bruch{6n-2}{3n+7} [/mm] - 2| < [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
Hauptnenner bilden!
[mm] \gdw |\bruch{6n-2}{3n+7} [/mm] - [mm] \bruch{6n+14}{3n+7}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{-16}{3n+7}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
Zum Betrag: Der Wert im Betrag ist hier immer negativ, denn der Zähler des Bruchs ist negativ und der Nenner positiv.
Wir lösen den Betrag also auf, indem wir mal (-1) rechnen:
[mm] \bruch{16}{3n+7} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
Wir rechnen mal 1000 und mal (3n+7)
16000 < 3n + 7
15993 < 3n
5331 < n
AHA! Ab n = 5332 liegen also alle Folgenglieder innerhalb des [mm] \varepsilon [/mm] - Schlauches um den Grenzwert 2! Das gesuchte N ist demzufolge N = 5331.
b) Löst du bitte selbst 
|
|
|
|
