Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{5n} [/mm] - [mm] \wurzel{3n} [/mm] + [mm] \bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}} [/mm] |
Hallo,
eigentlich Kinderkram. Trotzdem:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{5n} [/mm] - [mm] \wurzel{3n} [/mm] + [mm] \bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}}
[/mm]
<=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{5n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{3n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}}
[/mm]
= [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] + 0
= [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] -> das ist eine nicht zulässige Operation.
=> [mm] a_n [/mm] ist divergent?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Di 17.11.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
so kannst du nicht argumentieren.
Fasse besser zunächst $ [mm] \wurzel{5n} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel{3n} [/mm] $ zusammen.
Liebe Grüße
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Hey,
mir fällt gerade auf, dass man die Grenzwertsätze nur bei konvergenten (Teil)-Folgen benutzen darf. Darauf falle ich immer rein.
Also nochmal:
(abkürzen)
..
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{3})*\wurzel{n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 4n^{2} + 5n} {7n^{3}}
[/mm]
= [mm] \infty*(\wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{3}) [/mm] + 0
= [mm] \infty
[/mm]
=> bestimmt divergent
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Hallo,
du schreibst doch selber, dass du die GW-Sätze nur bei konvergenten (Teil-)Folgen anwenden kannst und schreibst unbeeindruckt die nächste Zeile, in der du einen GW-Satz auf eine divergente und eine konvergente Folge anwendest...
Das geht so also nicht. Mit deinem Ergebnis liegst du aber richtig.
Grüße
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:11 Mi 18.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den
> Grenzwert.
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel{5n}[/mm] - [mm]\wurzel{3n}[/mm] + [mm]\bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}}[/mm]
>
> Hallo,
Ich muss mal wieder meinen Beitrag leisten ....
> eigentlich Kinderkram.
Manchmal täuscht man sich gewaltig......
> Trotzdem:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{5n}[/mm] - [mm]\wurzel{3n}[/mm] +
> [mm]\bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}}[/mm]
Der liebe Gott (oder sonst wer) hat Klammern erfunden, damit man sie benutzt !
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{5n}[/mm] - [mm]\wurzel{3n}[/mm] + [mm]\bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}})[/mm],
falls der Limes existiert.
>
> <=> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{5n}[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{3n}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^{2} + 5n }{7n^{3}}[/mm]
Nur Kinderkram, aber obiges <=> ist völliger Quark. ... Wo ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] geblieben ???
>
> = [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] + 0
> = [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] ->
> das ist eine nicht zulässige Operation.
Da hast Du ausnahmsweise recht.
> => [mm]a_n[/mm] ist divergent?
Dieser Folgepfeil ist hoffentlich nicht Dein Ernst ?
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist unbeschränkt (warum ?), also divergent.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
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