Grenzwert einer Fakultät < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Hallo nochmal!
Hab da noch so einen schwierigen Kandidaten entdeckt und zwar ist der Grenzwert von [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] für x > 0 gefragt.
Hab ehrlich gesagt, wenige Ahnung, wie ich das angehen soll! Ich schicke euch wieder einmal ein hoffnugnsvolles SOS. :) Lg Manuel
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> Hallo nochmal!
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> Hab da noch so einen schwierigen Kandidaten entdeckt und
> zwar ist der Grenzwert von [mm]\bruch{x^n}{n!}[/mm] für x > 0
> gefragt.
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> Hab ehrlich gesagt, wenige Ahnung, wie ich das angehen
> soll! Ich schicke euch wieder einmal ein hoffnugnsvolles
> SOS. :) Lg Manuel
hallo!
für jedes erhöung des n kommt ein faktor x hinzu. gleichzeitig kommt im nenner immer ein faktor dazu, der jedes mal um 1 größer wird.
d.h. irgendwann wird der zuwachs im nenner größer als im zähler
du hast also eine schneller steigende funktion im nenner
demnach ist der wert des bruches immer kleiner für größer werdende n
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!} \to 0[/mm]
für 0 wird der zähler 1 (wegen [mm] x^{0}) [/mm] und der nenner auch wegen 0! = 1
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow0}\bruch{x^n}{n!} = 1[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Jaja, das ist schon klar. Die Schwierigkeit liegt ja auch nicht darin, den Grenzwert zu finden, sondern das zu formalisieren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Hmmm, kann mir vielleicht jemand helfen, dieses Resultat zu formalisieren? Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo manago
Schreib deine Folge als [mm] \produkt_{i=1}^{n}\bruch{x}{i}
[/mm]
es existiert für jedes endliche x ein k mit [mm] k\ge [/mm] x dann teile das Produkt auf in ein Produkt bis k, eine endliche Zahl, und das Produkt von k+1 bis [mm] \infty, [/mm] Produkt aus lauter Zahlen <1 also kleiner als der letzte Faktor! und endliche Zahl*0=0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 28.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals für deine Antwort. Ich versteh aber nicht so ganz wie du das mit k meinst. Vielleicht könntest du mir das noch näher erklären???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer jedes endliche x gibt es doch ne natuerliche Zahl, die groesser ist. Die nenn ich k. dann sind alle Faktoren x/i fuer i<k groesser als 1. alle die faktoren fass ich zusammen, d.h.multiplizier sie auf. wenn x>1 ist ist das ne Zahl groesser 1. die kann auch schon mal fuer grosse x gross werden, die haupsache sie ist endlich! die Zahl wird dann mit lauter faktoren x/n multipl., die kleiner 1 sind und fur n [mm] gegen\infty [/mm] 0 sind.
wenn dus noch nicht verstehst nimm mal x=99,6 und machs damit natuerlich ein paar .... verwenden!
Gruss leduart
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