Grenzwert der Reihe 1/k^2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mahlzeit!
Also ich habe da irgendwo einen Fehler gemacht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Der Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist ja [mm] \pi^{2}/6.
[/mm]
Ich wollte das mit dem Quotientenkriterium überprüfen.
Das heisst es muss gelten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] q für fast alle n
wobei q zwischen 0 und 1 liegt.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{1/(k+1)^{2}}{1/k^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{k^2}{(k+1)^{2}}.
[/mm]
Diese Folge konvergiert gegen 1. Also kann man kein solches q finden, da die Folge gegen 1 strebt.
Daraus folgt, dass die Reihe divergiert. Das is aber nicht der Fall.
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist? Vielen DAnk für eure Bemühungen!
GorkyPArk
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Danke Zwerglein für die schnelle Antwort.
Ich hab genauer nachgelesen und hab herausgefunden, dass ich nicht auf die Divergenz schliessen kann. Das könnte ich nur wenn [mm] \bruch{1/(k+1)^{2}}{1/k^{2}} \ge [/mm] 1 wäre. Das ist ja aber nicht der Fall. Denn diese Folge konvergiert gegen 1 aber von 0 aus.
Wi könnte ich nun zeigen dass diese Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] wirklich konvergiert? Welches Kriterium sollte ich da anwenden? (Für das Majorantenkriterium weiss ich nur, dass die Reihe von [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ja divergiert.)
MfG
GorkyPark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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http://www.math-kit.de/2003/content/RH-PB-XML-cob//Manifest308/quotkriterium.html
