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Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Sa 19.11.2011
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Errate den Grenzwert a der Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit

[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{2n^2+7n+3}{5n^2+6} [/mm]

und gib (mit Beweis) zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge n_{0}(\varepsilon) [/mm] an.

Hallo,

den Grenzwert habe ich erraten. Er müsste [mm] \bruch{2}{5} [/mm] sein.

Jetzt ist ja folgendes zu zeigen:

a = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] ist Grenzwert von a, also zu zeigen:

[mm] \forall \varepsilon>0, \exists n_{0}(\varepsilon) \in\IN [/mm] : [mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}|<\varepsilon, \forall n\ge n_{0}(\varepsilon) [/mm]

Annahme: Das würde NICHT gelten, dann gilt:

[mm] \exists \varepsilon>0, \forall n_{0}(\varepsilon) \in\IN [/mm] : [mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon, \exists n\ge n_{0}(\varepsilon) [/mm]

[mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon [/mm] ist ja nichts anderes, wie:

[mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge a_{n} \ge \varepsilon [/mm] + [mm] \bruch{2}{5} [/mm]

Wenn nun n [mm] \to \infty [/mm] läuft, dann ist [mm] a_{n} [/mm] praktisch [mm] \bruch{2}{5}. [/mm]

Es folgt:

[mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge \bruch{2}{5} \ge \varepsilon [/mm] + [mm] \bruch{2}{5} [/mm]

Aber das wäre ja ein Widerspruch, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 sein soll, und somit wäre die Ungleichung nicht erfüllt. Kann man das so machen?

        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Sa 19.11.2011
Autor: Helbig


>  
> den Grenzwert habe ich erraten. Er müsste [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> sein.

Das seh ich auch so.

>  
> Jetzt ist ja folgendes zu zeigen:
>  
> a = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] ist Grenzwert von a, also zu zeigen:
>  
> [mm]\forall \varepsilon>0, \exists n_{0}(\varepsilon) \in\IN[/mm] :
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}|<\varepsilon, \forall n\ge n_{0}(\varepsilon)[/mm]
>  
> Annahme: Das würde NICHT gelten, dann gilt:
>  
> [mm]\exists \varepsilon>0, \forall n_{0}(\varepsilon) \in\IN[/mm] :
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon, \exists n\ge n_{0}(\varepsilon)[/mm]
>  
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon[/mm] ist ja nichts anderes,
> wie:
>  
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm] - [mm]\varepsilon \ge a_{n} \ge \varepsilon[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>  

So geht es nicht! Dieser Folgerung gilt doch nur, wenn Du [mm] $\epsilon \le [/mm] 0$ voraussetzt, aber das willst Du in Deinem Widerspruchsbeweis ja gerade zeigen.

Ich denke, ein direkter Beweis ist hier einfacher als ein Widerspruchsbeweis.

OK?

Grüße,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 So 20.11.2011
Autor: Blackburn4717537

Ok, ich habs jetzt versucht direkt zu beweisen, aber irgendwie kommt da nur Sch.... raus...

Von folgender Ungleichung bin ich ausgegangen:

[mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| [/mm] < 0 < [mm] \varepsilon [/mm]

[mm] \gdw \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm]

Jetzt habe ich mir [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] rausgepickt und nach n aufgelöst, aber am Ende erhalte ich n < [mm] -\bruch{3}{35} [/mm] und das kann es ja nicht sein, weil n [mm] \in \IN. [/mm] Wo ist der Fehler?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 20.11.2011
Autor: Helbig


> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}|[/mm] < 0 < [mm]\varepsilon[/mm]

Das bringt nichts. Ein Betrag ist niemals <0.

Bringe für $a=5/2$ die Ungleichung

[mm] $a_n-a [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

in eine äquivalente Ungleichung der Form

"Ausdruck mit [mm] $\epsilon$" [/mm] $ < n$.

Ebenso für [mm] $a-a_n [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Das Maximum der beiden [mm] $\epsilon$-Ausdrücke [/mm] ist dann Dein [mm] $n_0(\epsilon)$. [/mm]

Kommst Du damit weiter?

Wolfgang

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