Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm] (a_n) [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] a_n:=\bruch{ (-1)^{n} }{n^{2}} [/mm] |
Hallo,
meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ (-1)^{n} }{n^{2}} [/mm]
[mm] =\bruch{ \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n} }{ \limes_{n\rightarrow\infty} n^{2} }
[/mm]
So, jetzt meine Frage:
Laut Wolframalpha kommt als Grenzwert 0 raus.
by der "step by step solution" sagt er, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n} [/mm] nicht definiert ist
Stimmt das so ? Ich meine bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n} [/mm] sieht es für mich auch so aus, als ob es nicht definiert ist, weil man sozusagen nicht weiß, ob unendlich gerade ist, oder ungerade (weil es gar keine Zahl ist). Daher weiß man nicht, ob -1 oder +1 rauskommt, daher undefiniert. Stimmt das so ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm](a_n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]a_n:=\bruch{ (-1)^{n} }{n^{2}}[/mm]
>
> Hallo,
> meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ (-1)^{n} }{n^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{ \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n} }{\limes_{n\rightarrow\infty} n^{2}}[/mm]
Das kannst du so nicht machen, die Voraussetzung für die Anwendung der GW-Sätze ist nicht gegeben, da die Zählerfolge nicht konvergent ist!
> So, jetzt meine Frage:
> Laut Wolframalpha kommt als Grenzwert 0 raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> by der "step by step solution" sagt er, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n}[/mm] nicht definiert ist
>
> Stimmt das so ?
Ja, das stimmt, die Zählerfolge [mm] (-1)^n [/mm] ist nicht konvergent
> Ich meine bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n}[/mm]
> sieht es für mich auch so aus, als ob es nicht definiert
> ist, weil man sozusagen nicht weiß, ob unendlich gerade
> ist, oder ungerade (weil es gar keine Zahl ist). Daher
> weiß man nicht, ob -1 oder +1 rauskommt, daher
> undefiniert. Stimmt das so ?
Naja, nicht undefiniert, aber der Grenzwert der Folge [mm] (-1)^n [/mm] für n--> infinity existiert nicht. Es gibt - wie du erkannt hast - zwei Teilfolgen (für gerade und ungerade n), die gegen verschiedene GWe konvergieren; und das darf nicht sein für Konvergenz ...
Dass der GW von [mm] a_n [/mm] für n --> infinity tatsächlich 0 ist kannst du ganz einfach mit der Epsilon-Definition zeigen ...
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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Hallo pc_doctor!
Betrachte doch die beiden Teilfolgen für gerade bzw. ungerade $n_$ und bestimme die jeweiligen Grenzwerte.
In Deinem Falle stimmen diese eventuell sogar überein. Was dann was bedeutet?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo, danke für die Antworten.
Dann probiere ich es mal mit den Teilfolgen.
Wenn n gerade ist und n gegen unendlich , kommt im Zähler immer +1 raus.
Wenn aber n ungerade ist und n wieder gegen unendlich, kommt immer -1 raus. Komplett als Bruch ist in beiden Fällen der Grenzwert immer 0.
Inwiefern bringt mich das jetzt aber weiter? Stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
Ps: Bin gerade mit dem Handy, daher habe ich es verbal beschrieben. Hoffe, es ist klar, wie ich es meine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mi 11.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi!
Benutze doch, wie schachuzipus schrieb, die allgemeine Definition von Konvergenz:
Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine gegen c "Element der reellen Zahlen / Element der komplexen Zahlen" (hier geht der Formeleditor nicht) konvergente Folge.
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_{0} \in [/mm] N, sodass für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt:
[mm] |a_{n} [/mm] - c| < [mm] \epsilon [/mm]
Nun setz doch einfach mal ein: Was ist [mm] a_{n}, [/mm] was ist c?
Viele Grüße,
Christian
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Hi,
also ich versuche es mal( bin mir gerade sehr unsicher. Irgendwie habe ich ein Brett vor'm Kopf.)
| [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] - 0 | < [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
Geht das so ?
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Hallo nochmal,
> Hi,
> also ich versuche es mal( bin mir gerade sehr unsicher.
> Irgendwie habe ich ein Brett vor'm Kopf.)
>
> | [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] - 0 | < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Geht das so ?
Bisschen knapp, das Ganze 
Es geht doch so los:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgelegt, wähle [mm] $N=N(\varepsilon)>1/\varepsilon$, [/mm] etwa als nächstgrößere natürliche Zahl - kannst du die angeben?
Dann ist [mm] $|a_n-0|=\left|(-1)^n/n^2\right|=1/n^2\le 1/n<1/(1/\varepsilon)=\varepsilon$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
leider kann ich das nicht richtig nachvollziehen, weil der Formeleditor niht funktioniert, keine richtige Darstellung. Könntest du das bitte irgebdwie verbal beschreiben?
Warum funktioniert der Formeleditor nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 11.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hey,
ich habe mal Formeleditor gespielt und das was schachuzipus geschrieben hat selbst umgewandelt
Link zum Bild: http://fs5.directupload.net/images/151111/5rf4op4p.jpg
Gruß Christian
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Vielen lieben Dank.
Ich erkenne aber den roten Faden nicht. Das ist jetzt die Definition der Konvergenz mit konkreten Einsetzungen, okay. Aber was Saft das über den Grenzwert dieser Folge aus ? Ich muss dazu erwähnen, dass ich selten mit der Definition von Kovergenz gearbeitet habe , da ich einfach immer gerechnet habe (L'Hospital etc)
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Hallo,
> Vielen lieben Dank.
> Ich erkenne aber den roten Faden nicht.
Wo genau nicht? Ist doch im kleinsten Detail vorgerechnet.
Zum n-ten Mal:
Ziel ist es, zu vorgelegtem epsilon>0 ein N=N(epsilon) anzugeben, so dass für alle n>N(epsilon) der Betrag [mm] |a_n-GW|
Wie das im Detail geht, ist schon hier mehrfahc verraten worden. Frage konkreter, wenn noch was unklar ist ...
> Das ist jetzt die
> Definition der Konvergenz mit konkreten Einsetzungen, okay.
> Aber was Saft das über den Grenzwert dieser Folge aus ?
Den musst du vorher "kennen" oder "ahnen", welcher das ist. Ist hier ja nicht schwer - 0 hattest du ja schon raus ...
> Ich muss dazu erwähnen, dass ich selten mit der Definition
> von Kovergenz gearbeitet habe , da ich einfach immer
> gerechnet habe (L'Hospital etc)
Das muss und sollte man ja auch nicht bei jeder Folge bei Adam und Eva beginnend - sprich mit der Def machen. Dazu gibt es ja u.a. auch die GW-Sätze oder die Regel von de l'Hôpital, das Sandwichlemma uvm
Aber es müssen immer die Voraussetzungen erfüllt sein, um solche Sachen anwenden zu können.
GW-Sätze, wie du es zuerst versucht hast, fallen aus - das geht nicht. Ebenso de l'Hôpital.
Der Weg über die Definition mit der Abschätung des Betrages ist doch ne gute Übung - sieh es doch mal so. Außerdem ist das ja keine unmögliche Abschätzung ...
Wenn dir das gar nicht zusagt, stöbere nochmal in Roadrunners Antwort, der hat dir eine Alternative genannt mit der Betrachtung der beiden Teilfolgen a_2n und a_2n+1 (also für gerade und ungerade n)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 11.11.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|a_n|=\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}$
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
deinen Beitrag habe ich erst jetzt gesehen, sorry.
Also ich kann deine Rechnung nachvollziehen.
Ich habe folgendes:
[mm] A_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] / n²
n geht ja gegen unendlich
Dann ist:
| [mm] A_n [/mm] | = [mm] 1^n [/mm] / n²
Der Grenzwert ist dann 0.
Kann ich das so machen?
Zusatzfrage: Warum kann ich hier [mm] |A_n| [/mm] annehmen? Warum kann ich mit dem Betrag die Aufgabe lösen?
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Hallo,
> Hallo Fred,
> deinen Beitrag habe ich erst jetzt gesehen, sorry.
> Also ich kann deine Rechnung nachvollziehen.
>
> Ich habe folgendes:
>
> [mm]A_n[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] / n²
>
> n geht ja gegen unendlich
>
> Dann ist:
> | [mm]A_n[/mm] | = [mm]1^n[/mm] / n²
> Der Grenzwert ist dann 0.
>
> Kann ich das so machen?
Jein - eher nicht ...
> Zusatzfrage: Warum kann ich hier [mm]|A_n|[/mm] annehmen? Warum kann
> ich mit dem Betrag die Aufgabe lösen?
Nun, schaue dir endlich die Definition von "konvergente Folge" an ...
Sonst kannst du alles weitere vergessen und besser das Seminar "Nähen ohne Nadel" oder "Kreatives Husten" besuchen
Geometrisch bedeutet das, dass - egal wie klein du epsilon vorgibst - es immer möglich ist, die Folgenglieder ab einem hinreichend großen N, das in der Regel von dem vorgelegten epsilon abhängt (wie hier N>1/epsilon), in einem Epsilonschlauch um den GW herum einzuquetschen.
Der Abstand der Folgenwerte vom Grenzwert ist ab einem hinreichend großen N=N(epsilon) stets kleiner als epsilon.
Und [mm] |a_n-GW|
Hier ist [mm] a_n=(-1)^n/n^2 [/mm] und GW=0, das macht [mm] |a_n-GW|=|(-1)^n/n^2|
[/mm]
Um Konvergenz mittels der Definition zu zeigen, gibt man sich also ein beliebiges positives epsilon vor und muss ein N=N(epsilon) angeben, ab dem (für n>N(epsilon)) alle weiteren Folgenglieder vom GW einen Abstand kleiner als epsilon haben.
Zeichnerisch liegen sie also in einem waagerechten Schlauch oder Streifen der Breite Epsilon um den GW herum verteilt ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 11.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo pc_doctor!
Den Bruch kann man als Produkt von zwei Faktoren auffassen.
Die zwei Faktoren kann man als zwei Folgen auffassen.
Man erhält eine Nullfolge und eine beschränkte Folge.
Satz: Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge!
(Natürlich führen noch andere Wege nach Rom. )
Gruß
DieAcht
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Beweis:
Sei [mm] a_n [/mm] (n [mm] \in \IN [/mm] ) Nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] beschränkt mit Schranke b > 0 => [mm] |b_n| \le [/mm] b für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] n_0 [/mm] > 0 , so dass für alle n [mm] \ge [/mm] die Ungleichung |an| < [mm] \varepsilon [/mm] / b gilt.
[mm] N_o [/mm] existiert, da [mm] a_n [/mm] eine NUllfolge ist. Dann gilt auch für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] die Ungleichung [mm] |a_n b_n| \le |a_n| [/mm] *b < [mm] (\varepsilon [/mm] /b )*b = [mm] \varepsilon
[/mm]
Reicht das als Beweis?
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Hallo,
> Beweis:
> Sei [mm]a_n[/mm] (n [mm]\in \IN[/mm] ) Nullfolge und [mm](b_n)[/mm] beschränkt mit
> Schranke b > 0 => [mm]|b_n| \le[/mm] b für alle n [mm]\in \IN.[/mm] Sei
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]n_0[/mm] > 0 , so dass für alle n [mm]\ge[/mm] die
> Ungleichung |an| < [mm]\varepsilon[/mm] / b gilt.
> [mm]N_o[/mm] existiert, da [mm]a_n[/mm] eine NUllfolge ist. Dann gilt auch
> für alle n [mm]\ge n_0[/mm] die Ungleichung [mm]|a_n b_n| \le |a_n|[/mm] *b
> < [mm](\varepsilon[/mm] /b )*b = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Reicht das als Beweis?
Ja, sehr schön.
[mm] (-1)^n [/mm] ist offensichtlich beschränkt; es bleibt der Nachweis, dass [mm] 1/n^2 [/mm] Nullfolge ist ...
Und das ist genau derselbe Beweis wie wir ihn schon geführt haben
Im Betrag unten "verschwindet" das [mm] (-1)^n [/mm] doch auch zur 1 ...
Gruß
schachuzipus
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Danke, für die Antwort.
Ich würde gerne eine zweite Variante ausprobieren, wo ich direkt beweise, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. Und eine Nullfolge ist automatisch konvergent.
Behauptung: [mm] a_n [/mm] ist Nullfolge.
Beweis:
Für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 sei N( [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \in \IN [/mm] mit N( [mm] \varepsilon [/mm] ) > 1 / [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N( [mm] \varepsilon [/mm] )
| [mm] (-1)^n [/mm] * (1/n²) - 0 | = [mm] 1\n [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge und automatisch konvergent(eventuell beweise ich das auch, wenn es nicht offensichtlich sein sollte, man weiß ja nie.)
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Hallo nochmal,
> Danke, für die Antwort.
> Ich würde gerne eine zweite Variante ausprobieren, wo ich
> direkt beweise, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist. Und eine
> Nullfolge ist automatisch konvergent.
>
> Behauptung: [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge.
>
> Beweis:
> Für [mm]\varepsilon[/mm] > 0 sei N( [mm]\varepsilon[/mm] ) [mm]\in \IN[/mm] mit N(
> [mm]\varepsilon[/mm] ) > 1 / [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dann gilt für alle n [mm]\ge[/mm] N( [mm]\varepsilon[/mm] )
Ok bis hierher
>
> | [mm](-1)^n[/mm] * (1/n²) - 0 | = [mm]1\n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Wieso =1?
Es muss am Ende "nur" <epsilon rauskommen:
[mm] |(-1)^n/n^2|=1/n^2<=1/n<1/(1/epsilon)=epsilon, [/mm] denn n>1/epsilon war ja gewählt, also 1/n>epsilon
Wenn du mal alle Zwischenschritte, die die Ungleichung ja erhalten "überliest", steht da [mm] |a_n-GW|
Das, was man zeigen sollte ...
Aber das habe ich dir mindestens schon zweimal aufgeschrieben ...
>
> Damit ist [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge und automatisch
> konvergent(eventuell beweise ich das auch, wenn es nicht
> offensichtlich sein sollte, man weiß ja nie.)
Mit diesem Beweis ist gezeigt, dass [mm] a_n=(-1)^n/n^2 [/mm] eine konvergente Folge mit GW 0 ist (Nullfolge)
Gruß
schachuzipus
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Im Eifer des Gefechts habe ich den Nenner vergessen :D
Es sollte heißen:
| [mm] (-1)^n [/mm] * (1/n²) - 0 | = 1 \ n < [mm] \varepsilon [/mm]
Korrektur: Es muss heißen: | [mm] (-1)^n [/mm] * (1/n²) - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm]
Damit habe ich bewiesen, dass die Folge konvergent ist und gegen 0 geht. Das reicht als Lösung, oder ?
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Hallo nochmal,
> Im Eifer des Gefechts habe ich den Nenner vergessen :D
> Es sollte heißen:
>
> | [mm](-1)^n[/mm] * (1/n²) - 0 | = 1 \ n < [mm]\varepsilon[/mm]
Das = 1/n ist immer noch falsch, das muss <= 1/n lauten...
Der Betrag vereinfacht sich erstmal zu [mm] 1/n^2 [/mm] und das ist <= 1/n und das wiederum ist <epsilon wegen unserer Wahl von N
>
> Korrektur: Es muss heißen: | [mm](-1)^n[/mm] * (1/n²) - 0 | <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Damit habe ich bewiesen, dass die Folge konvergent ist und
> gegen 0 geht. Das reicht als Lösung, oder ?
Ja, fast, aber gib die paar Zwischenschritte in der Abschätzung mit an, sonst glaubt dir das kein Korrektor
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 11.11.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen lieben Dank für deine Antworten. Endlich gelöst :D.
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