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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Di 16.08.2011 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Man berechne den Grenzwert der Zahlenfolge für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] a_{n}=\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n} [/mm] |
Hallo,
leider weiß ich hier überhaupt nicht wie ich auf das Ergebnis komme :( Momentan ist mir das noch total schleierhaft, wieso der Grenzwert 1 ist, weil bei mir immer wieder 0 rauskommt, egal auf welchem Weg ich das Versuche zu lösen...
Ich habs bisher so versucht:
[mm] \wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n}}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n^{2}+1}}{n}-\bruch{\wurzel{n^{2}+2n}}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n^{2}+1}}{\wurzel{n^{2}}}-\bruch{\wurzel{n^{2}+2n}}{\wurzel{n^{2}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{n^{2}+1}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n^{2}+2n}{n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}-\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}}+\bruch{2n}{n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}-\wurzel{1+\bruch{2}{n}}
[/mm]
so und wenn ich jetzt n [mm] \to \infty [/mm] machen würde, käme bei mir 0 raus, weil unter der Wurzel ja jeweils 1 bei mir rauskommen würde... was mache ich also falsch? Ich hab leider absolut keine Idee :(
lg elfe
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Hallo Elfe,
> Man berechne den Grenzwert der Zahlenfolge für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n}[/mm]
> Hallo,
>
> leider weiß ich hier überhaupt nicht wie ich auf das
> Ergebnis komme :( Momentan ist mir das noch total
> schleierhaft, wieso der Grenzwert 1 ist,
Ist er das?
Ich würde meinen, da kommt [mm]\red{-}1[/mm] raus ...
> weil bei mir immer
> wieder 0 rauskommt, egal auf welchem Weg ich das Versuche
> zu lösen...
>
> Ich habs bisher so versucht:
> [mm]\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}+2n}}{n}[/mm]
Wieso sollte hier Gleichheit gelten?
Du teilst einfach durch n und sagst, das ist dasselbe wie oben?!
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{n^{2}+1}}{n}-\bruch{\wurzel{n^{2}+2n}}{n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{n^{2}+1}}{\wurzel{n^{2}}}-\bruch{\wurzel{n^{2}+2n}}{\wurzel{n^{2}}}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{\bruch{n^{2}+1}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n^{2}+2n}{n^{2}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}-\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}}+\bruch{2n}{n^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}-\wurzel{1+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> so und wenn ich jetzt n [mm]\to \infty[/mm] machen würde, käme bei
> mir 0 raus, weil unter der Wurzel ja jeweils 1 bei mir
> rauskommen würde... was mache ich also falsch? Ich hab
> leider absolut keine Idee :(
Ein sehr probates Mittel, um Summen oder Differenzen von Wurzelausdrücken loszuwerden, ist es, so zu erweitern, dass die 3.binomische Formel entsteht.
Erweitere also [mm]\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n}[/mm] mit [mm]\frac{\sqrt{n^2+1}\blue{+}\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+1}\blue{+}\sqrt{n^2+2n}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
> lg elfe
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Elfe |
Vielen Dank euch beiden sowohl für den Tipp als auch für die ausführliche Lösung. Tatsächlich hatte ich einen kleinen Aha-Effekt und weiß jetzt wo mein Fehler lag ;) Vielen Dank!
Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 16.08.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n}=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n}\bruch{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\bruch{n^2+1-(n^2+2n)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\bruch{1-2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\bruch{n(\bruch{1}{n}-2)}{\sqrt{n^2(1+\bruch{1}{n^2})}+\sqrt{n^2(1+\bruch{2}{n^3})}}=\bruch{n(\bruch{1}{n}-2)}{n(\sqrt{1+\bruch{1}{n^2}}+\sqrt{1+\bruch{2}{n^2})}}=\bruch{\bruch{1}{n}-2}{\sqrt{1+\bruch{1}{n^2}}+\sqrt{1+\bruch{2}{n^2}}}
[/mm]
Was gilt nun wenn $n$ gegen unendlich geht ?
MfG
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Hallo DM08,
wieso alles im Detail vorrechnen und dem OP das AHA-Erlebnis nehmen?
Selber rechnen prägt sich doch viel mehr ein.
Es kommt ja nicht darauf an, dass du es kannst, sondern nachher der OP ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 16.08.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
ich bin zwar Deiner Meinung und verstehe den Inhalt Deiner Mitteilung voll und ganz, nur "akustisch" oder terminologisch ist da etwas nicht bei mir angekommen.
Ich verstehe immer "OP" - was ist das? Operator (in englischer Aussprache)? Oder Originalposter, Orchideenpflücker, Ochsenpeiniger, obsoleter Palimpsestschreiber? Ein Ordonnanzparkplatz kann ja nicht gemeint sein, auch ordinäres Pack nicht. Letzteres wäre ja neutrisch.
Grüße
reverend
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Hallo Hochwürden,
gemeint ist der [mm] $\text{\red{O}rignal\red{p}oster}$ [/mm] ...
Vllt. sollte man besser "ganz" deutsch FS sagen?!
Gruß aus dem schwuülen Kölle
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 16.08.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Hallo Hochwürden,
Das will ich meinen, dass ich eines Hochs würdig wäre. Nur das Wetter ist irgendwie nicht meiner Meinung. Ansonsten ist das Antiteln nicht so meins.
> gemeint ist der [mm]\text{\red{O}rignal\red{p}oster}[/mm] ...
Aha!
> Vllt. sollte man besser "ganz" deutsch FS sagen?!
First Scribe ist doch englisch. Vielleicht eher FU für Fadenurheber (thread originator) oder HS für Hilfesuchender oder - ach, jetzt verstehe ichs: Frage(n)steller.
> Gruß aus dem schwuülen Kölle
Jäjä, die kölschen Ümläute...
Am Donnerstag bin ich übrigens in Köln, gleich aus zwei Gründen, da lohnt sich die Fahrt wenigstens. 
(Nein, nicht wegen der schönen großen Bahnhofskapelle)
Grüße
reverend
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