Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Jetzt stelle ich ausnahmsweise mal zwei Aufgaben auf einmal, weil ich bei beiden nur einen kleinen Ansatz suche:
Man berechne [mm] \wurzel{1+\wurzel{1+\wurzel{1+...}}}, [/mm] d.h. den Limes der Folge [mm] (a_n)_n [/mm] mit [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{1+a_n} [/mm] bzw. den Wert des unendlichen Kettenbruchs [mm] 1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+...}}} [/mm] d.h. den Limes der Folge [mm] (a_n)_n [/mm] mit [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_n}.
[/mm]
Ich habe beide Aufgaben schon mal gesehen, aber ich finde sie im Moment nirgends. Kann mir jemand nur einen Ansatz geben, wie man damit umgeht?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 28.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
(a)
Es sei [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $a_{n+1}=\varphi(a_n)$. [/mm] Ist [mm] $a_n\to [/mm] a$, so ist [mm] $a=\varphi(a)$, [/mm] d.h. $a$ ist Fixpunkt von [mm] $\varphi$. [/mm] In deinem Falle ist [mm] $\varphi(x)=\sqrt{1+x}$. [/mm] Folgende Schritte müssen also vorgenommen werden: du musst beweisen, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] überhaupt konvergiert. Das kannst du über das Monotonieprinzip lösen, d.h. darüber zu zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] beschränkt und monoton ist. Nachdem du somit bewiesen hast, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert, kannst du durch [mm] $a=\sqrt{1+a}$ [/mm] den Grenzwert von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] bestimmen.
(b)
Auch hier kannst du wieder nach dem Monotonieprinzip vorgehen. Du beweist, dass die Folge monoton und beschränkt ist, und löst zur Bestimmung des grenzwerts [mm] $a\in\IR$ [/mm] die Gleichung [mm] $a=1+\frac{1}{a}$. [/mm] Weiter noch würde ich dir empfehlen, dir einfach mal ein paar Folgenglieder aufzuschreiben; du wirst feststellen, dass die [mm] $a_n$ [/mm] genau die Quotienten aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sind - es macht sich nicht schlecht, wenn man weiß, dass dieser Quotient gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. 
> (a)
>
> Es sei [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
> [mm]a_{n+1}=\varphi(a_n)[/mm]. Ist [mm]a_n\to a[/mm], so ist [mm]a=\varphi(a)[/mm],
> d.h. [mm]a[/mm] ist Fixpunkt von [mm]\varphi[/mm]. In deinem Falle ist
Ist das ein Satz oder wieso kann ich den Grenzwert dann so einfach berechnen?
> [mm]\varphi(x)=\sqrt{1+x}[/mm]. Folgende Schritte müssen also
> vorgenommen werden: du musst beweisen, dass [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> überhaupt konvergiert. Das kannst du über das
> Monotonieprinzip lösen, d.h. darüber zu zeigen, dass
> [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] beschränkt und monoton ist. Nachdem du
> somit bewiesen hast, dass [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert,
> kannst du durch [mm]a=\sqrt{1+a}[/mm] den Grenzwert von
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] bestimmen.
Okay, also ich hab's mal versucht. Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich hier die Monotonie zeigen kann. Ich hab's mal so versucht, also da [mm] a_0=1, [/mm] ist [mm] 1+a_0>1, [/mm] somit ist dann auch [mm] a_1=\wurzel{1+a_0} [/mm] >1 und vor allem [mm] a_1>a_0, [/mm] und daraus folgt doch quasi induktiv, dass alle [mm] a_n>0 [/mm] sind, oder? Also, ich würde das dann noch richtig formulieren, falls man das überhaupt so machen kann? Aber etwas anderes habe ich hier leider nicht hinbekommen...
Und wie zeige ich die Beschränktheit? Vielleicht hast du dafür auch ein anderes Beispiel, an dem du mir das erklären kannst?
> (b)
>
> Auch hier kannst du wieder nach dem Monotonieprinzip
> vorgehen. Du beweist, dass die Folge monoton und beschränkt
> ist, und löst zur Bestimmung des grenzwerts [mm]a\in\IR[/mm] die
> Gleichung [mm]a=1+\frac{1}{a}[/mm]. Weiter noch würde ich dir
> empfehlen, dir einfach mal ein paar Folgenglieder
> aufzuschreiben; du wirst feststellen, dass die [mm]a_n[/mm] genau
> die Quotienten aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sind
> - es macht sich nicht schlecht, wenn man weiß, dass dieser
> Quotient gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Danke für den Hinweis mit dem goldenen Schnitt - da gibt's in Wikipedia ja einen ganz langen Artikel drüber, den ich mir hoffentlich bald mal durchlesen werde.
Aber entweder ist es schon zu spät heute, oder du hast einen kleinen Fehler gemacht, denn die Folge hier ist nicht monoton, oder? Also ich habe jedenfalls schon mal für die ersten drei Folgenglieder raus: [mm] a_0=1, a_1=2, a_2=\bruch{3}{2} [/mm] - und das ist doch nicht monton oder habe ich da wieder was Falsches im Kopf?
Naja, jedenfalls konvergieren dann wohl beide Folgen gegen den gleichen Wert, nämlich [mm] 0,5+0,5\wurzel{5}\approx [/mm] 1,618
Viele Grüße
Bastiane
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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Hallo Bastiane,
> Ist das ein Satz oder wieso kann ich den Grenzwert dann so
> einfach berechnen?
Es gilt einfach [mm] \varphi(a_n) [/mm] = [mm] a_{n+1}. [/mm] Also haben die Folgen den selben Limes a. Erinnere Dich. a war
[mm] $\wurzel{1+\wurzel{1+\wurzel{1+...}}}$. [/mm] Bei unendlich vielen Wurzeln kommt es auf eine mehr oder weniger nicht an. Also ist a Fixpunkt von [mm] \varphi
[/mm]
Zur Beschränktheit: Induktiv. Es gelte 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 4. Dann gilt:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \varphi(a_n) [/mm] = [mm] \sqrt{1+a_n} \le \sqrt{1} [/mm] + [mm] \sqrt{a_n} \le \sqrt{1} [/mm] + [mm] \sqrt{4} [/mm] = 3 [mm] \le [/mm] 4
(wegen [mm] \sqrt{x+y} \le \sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{y} [/mm] für x,y [mm] \ge [/mm] 0)
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Hallo Bastiane,
Diese Regel leitet man wie folgt her.
Klarerweise gilt für x,y [mm] $\ge$ [/mm] 0:
[mm] $(x+y)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2 \ge x^2 [/mm] + [mm] y^2$
[/mm]
Wie ziehen die Wurzel
$x+y [mm] \ge \sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
und ersetzen x und y durch [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{y}$
[/mm]
[mm] $\sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{y} \ge \sqrt{x+y}$
[/mm]
Die Ungleichungen bleiben erhalten, da die Wurzel ja monoton wachsend ist.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
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Kettenbruch (Wikipedia) zur 2. Folge
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
