Grenzwert berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 22.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^3-2x+1}{x-1}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-\wurzel{x+1}}{x} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe nun schon soviel über Grenzwertberechnung gelesen das ich ganz verunsichert bin, was nun am besten und auch richtig ist. Erst habe ich es mit der sogenannten h-Methode probiert aber es geht auch wenn ich die 1. Ableitung von Zähler und Nenner nehme und die Funktion dann auf den Grenzwert hin untersuche. L´Hospital sagt mir leider noch nichts, da wir es auch noch nicht durchgenommen haben. Könnte mir jemand von euch einen Tipp dafür geben?
zu 1.)
Für den Grenzwert der angegebenen Funktion habe ich 1 raus:
f(x) = [mm] \bruch{x^3-2x+1}{x-1} [/mm] daraus ergibt sich die 1. Ableitung f´(x) = [mm] \bruch{3x^2-2}{1}. [/mm] Wenn ich nun x = 1 setze erhalte ich
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{3*1^2-2}{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1.
Kann ich da so vorgehen?
zu 2.)
f(x) = [mm] \bruch{1-\wurzel{x+1}}{x} [/mm] daraus folgt f´(x) = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}\wurzel{x+1}}{1}. [/mm] So jetzt setz ich x = 0 und erhalte [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-\bruch{1}{2}\wurzel{0+1}}{1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-\bruch{1}{2}}{1} [/mm] also ist der Grenzwert der Funktion = [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Danke für eure Hilfe.
Gruß Vicky
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Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^3-2x+1}{x-1}.[/mm]
> Berechnen
> Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-\wurzel{x+1}}{x}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> Ich habe nun schon soviel über Grenzwertberechnung gelesen
> das ich ganz verunsichert bin, was nun am besten und auch
> richtig ist. Erst habe ich es mit der sogenannten h-Methode
> probiert aber es geht auch wenn ich die 1. Ableitung von
> Zähler und Nenner nehme und die Funktion dann auf den
> Grenzwert hin untersuche. L´Hospital sagt mir leider noch
> nichts, da wir es auch noch nicht durchgenommen haben.
> Könnte mir jemand von euch einen Tipp dafür geben?
>
> zu 1.)
> Für den Grenzwert der angegebenen Funktion habe ich 1
> raus:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^3-2x+1}{x-1}[/mm] daraus ergibt sich die 1.
> Ableitung f´(x) = [mm]\bruch{3x^2-2}{1}.[/mm] Wenn ich nun x = 1
> setze erhalte ich
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{3*1^2-2}{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] =
> 1.
>
> Kann ich da so vorgehen?
Ja, das stimmt!![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> zu 2.)
> f(x) = [mm]\bruch{1-\wurzel{x+1}}{x}[/mm] daraus folgt f´(x) =
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}\wurzel{x+1}}{1}.[/mm] So jetzt setz ich x =
> 0 und erhalte [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-\bruch{1}{2}\wurzel{0+1}}{1}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-\bruch{1}{2}}{1}[/mm] also
> ist der Grenzwert der Funktion = [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
Also hier hast du die Ableitung falsch gebildet.
[mm] f'(x)=\bruch{-1}{2\wurzel{x+1}}=-0,5 [/mm] für x gegen 0.
Der Grenzwert stimmt, aber die Wurzel gehört bei der Ableitung in den Nenner. Vielleicht hast du es auch nur nicht richtig editiert!
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Danke für eure Hilfe.
> Gruß Vicky
Sehr gerne!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 22.01.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank schon mal für die Antwort. Ich habe aber noch ein Problem mit einer ähnlichen Aufgabe.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2x - [mm] \wurzel{4x^2 - x}.
[/mm]
Wie bereits erwähnt, kann ich mit L´hospital nicht sehr viel anfangen, da wir es noch nicht hatten. Wie also kann ich diese Aufgabe lösen. Die 1. Ableitung wäre ja:
f(x) = 2x - [mm] \wurzel{4x^2 - x} [/mm] also f´(x) = [mm] 2-\bruch{1}{2\wurzel{4x^2-x}} [/mm] und wie geht es nun weiter?
Vielen Dank nochmal für eure Hilfe.
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 22.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo vicky!
De l'Hospital nutzt hier zunächst auch nicht viel, da dieser sich nur auf die Ausdrücke [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] anwenden lässt, also auf Brüche.
Erweitere Deinen Ausdruck mal unter Berücksichtigung der 3. binomischen Formel:
$2x - [mm] \wurzel{4x^2 - x} [/mm] \ = \ [mm] \left(2x - \wurzel{4x^2 - x}\right)*\bruch{2x + \wurzel{4x^2 - x}}{2x + \wurzel{4x^2 - x}} [/mm] \ = \ ...$
Anschließend im Nenner $x_$ ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 22.01.2006 | | Autor: | vicky |
okay, ich habe jetzt erweitert und erhalte nun:
> [mm]2x - \wurzel{4x^2 - x} \ = \ \left(2x - \wurzel{4x^2 - x}\right)*\bruch{2x + \wurzel{4x^2 - x}}{2x + \wurzel{4x^2 - x}} \ = \ \bruch{4x^2-4x^2-x}{2x+\wurzel{4x^2-x}}[/mm] = [mm] \bruch{-x}{2x + \wurzel{4x^2-x}}
[/mm]
> Anschließend im Nenner [mm]x_[/mm] ausklammern und kürzen.
Warum soll ich jetzt nur im Nenner x ausklammern oder habe ich schon was falsch gemacht?
>
Gruß Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 22.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vicky!
Da hat sich ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen!
[mm]... \ = \ \bruch{4x^2-\red{\left(}4x^2-x\red{\right)}}{2x+\wurzel{4x^2-x}} \ = \ \bruch{\red{+}x}{2x + \wurzel{4x^2-x}}[/mm]
> Warum soll ich jetzt nur im Nenner x ausklammern oder habe
> ich schon was falsch gemacht?
Da sich aus dieser Darstellung der Grenzwert noch nicht erkennen / ermitteln lässt.
Tipp: [mm] $\wurzel{4x^2-x} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2*\left(4-\bruch{1}{x}\right) } [/mm] \ = \ [mm] x*\wurzel{4-\bruch{1}{x} }$
[/mm]
Gruß
Loddar
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