Grenzwert berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 10.06.2018 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Grenzwertes [mm] $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x [/mm] = [mm] e^a$ [/mm] folgenden Grenzwert:
[mm] $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x$ [/mm] |
Hallo zusammen!
Mir fehlt eine Ansatzidee, um den Grenzwert [mm] $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x$ [/mm] zu berechnen.
Ich habe es z.B. schon über erweitern zu binomischen Formeln, ausklammern oder Bruch auseinander ziehen versucht. Aber keiner dieser Ansätze brachte mich irgendwie weiter.
Hat jemand eine Idee?
Danke und VG,
Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 10.06.2018 | | Autor: | Marc |
Hallo Nadine,
> Hat jemand eine Idee?
Es müsste dich [mm] $\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}=...$ [/mm] weiter bringen...
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 10.06.2018 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Marc!
> Es müsste dich [mm]\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}=...[/mm]
> weiter bringen...
Mit deinem Ansatz bin ich jetzt so weit gekommen:
$ [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x [/mm] $
$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2+4}{x-2} \right)^x [/mm] $
$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2}{x-2} + \frac{4}{x-2} \right)^x [/mm] $
$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x-2} \right)^x [/mm] $
Jetzt hänge ich daran, noch die "-2" im Nenner wegzukriegen, damit ich den Grenzwert der e-Funktion verwenden kann.
Gibt es da auch noch einen Trick?
Danke und VG,
Nadine
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Hallo,
> [mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x-2} \right)^x[/mm]
Du könntest es so machen:
=[mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{x+2}[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 10.06.2018 | | Autor: | Pacapear |
> Du könntest es so machen:
>
> =[mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{x+2}[/mm]
>
> LG Angela
Oh wow!
Ja, damit bekomme ich [mm] e^4 [/mm] als Erbenis.
Vielen Dank!
VG Nadine
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