Grenzwert bei Lücke < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Eigenlich wäre diese Diskussion als eine Art Umfrage für Interessierte gedacht gewesen, aber ich bin nich draufgekommen wie das geht.
Obwohl wir die Differenzialrechnung schon seit längerem in der Schule abgeschlossen haben kann ich mir einige Gedankengänge der Differenzialrechnung einfach noch nicht vorstellen und verstehen.Natürlich nicht zuletzt wegen dem tanszendenten Begriff der Unendlichkeit.
Vorallem verstehe ich nicht, wie bei der Limesberechnung zuerst [mm]h\not=0[/mm] vorausgesetzt werden kann, später aber doch h=0 gesetzt wird.Irgenwie Paradox oder?
George Barkeley schrieb dazu:
Bisher habe ich vorausgesetzt, dass x einen wirklichen Zuwachs hat, dass h etwas ist[gemeint [mm]h\not=0[/mm]] Und ich bin durchweg von dieser Voraussetzung ausgegangen, ohne die ich nicht imstande gewesen wäre, einen einzigen Schritt zu tun[...] Ich bitte darum um die Erlaubniss, eine neue Voraussetzung machen zu dürfen, die der ersten entgegenkommt; dh. Ich will jetzt voraussetzen, dass es keinen Zuwachs von x gibt oder das h nichts ist[gemeint [mm]h=0[/mm]], welche zweite Voraussezung meine erste zerstört und mit ihr unverträglich ist[...]
Bilden wir z.B den rechtsseitigen [mm] limes_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}[/mm]
An der Stelle -1 die Funktion doch nicht def.. Warum kann ich also eine Größe die nicht existiert durch einen Grenzwert aproximieren?Wennschon müsste man einen Näherungswert nehmen, an dem [mm]x\not=-1[/mm].
[mm]limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{1}{n}-1)^2-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
Für mich wäre die Sache weniger schwierig wenn klar wäre, dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] nie 0 wird man dürfte aber dann den folgenden Schritt nicht gehen sondern als Ergebniss [mm] limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-2 [/mm] stehen lassen??Wobei [mm] \frac{1}{n} [/mm] immer ungleich 0 sein muss weil die Differenzenquotientenfunktion ja sonst nicht definiert ist.
[mm] limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-2=-2
[/mm]
Ich freue mich auf eure Antworten!
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 01.12.2008 | | Autor: | chrisno |
Du bist daran interessiert das wirklich zu verstehen. Dabei möchte ich Dir gerne helfen.
Dazu stelle ich Dir zwei Fragen:
Wenn es keine Lücke gibt, hast Du dann auch kein Problem mit dem Grenzwert?
Wie groß ist der Unterschied zwischen 1 und [mm] $0,\overline{9}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Eigenlich wäre diese Diskussion als eine Art Umfrage für
> Interessierte gedacht gewesen, aber ich bin nich
> draufgekommen wie das geht.
>
> Obwohl wir die Differenzialrechnung schon seit längerem in
> der Schule abgeschlossen haben kann ich mir einige
> Gedankengänge der Differenzialrechnung einfach noch nicht
> vorstellen und verstehen.Natürlich nicht zuletzt wegen dem
> tanszendenten Begriff der Unendlichkeit.
>
> Vorallem verstehe ich nicht, wie bei der Limesberechnung
> zuerst [mm]h\not=0[/mm] vorausgesetzt werden kann, später aber doch
> h=0 gesetzt wird.Irgenwie Paradox oder?
nein, überhaupt nicht ! Niemand setzt später h=0 !
FRED
>
> George Barkeley schrieb dazu:
>
> Bisher habe ich vorausgesetzt, dass x einen wirklichen
> Zuwachs hat, dass h etwas ist[gemeint [mm]h\not=0[/mm]] Und ich bin
> durchweg von dieser Voraussetzung ausgegangen, ohne die ich
> nicht imstande gewesen wäre, einen einzigen Schritt zu
> tun[...] Ich bitte darum um die Erlaubniss, eine neue
> Voraussetzung machen zu dürfen, die der ersten
> entgegenkommt; dh. Ich will jetzt voraussetzen, dass es
> keinen Zuwachs von x gibt oder das h nichts ist[gemeint
> [mm]h=0[/mm]], welche zweite Voraussezung meine erste zerstört und
> mit ihr unverträglich ist[...]
>
> Bilden wir z.B den rechtsseitigen
> [mm]limes_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}[/mm]
> An der Stelle -1 die Funktion doch nicht def.. Warum kann
> ich also eine Größe die nicht existiert durch einen
> Grenzwert aproximieren?Wennschon müsste man einen
> Näherungswert nehmen, an dem [mm]x\not=-1[/mm].
>
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{1}{n}-1)^2-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
>
> Für mich wäre die Sache weniger schwierig wenn klar wäre,
> dass [mm]\frac{1}{n}[/mm] nie 0 wird man dürfte aber dann den
> folgenden Schritt nicht gehen sondern als Ergebniss
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-2[/mm] stehen
> lassen??Wobei [mm]\frac{1}{n}[/mm] immer ungleich 0 sein muss weil
> die Differenzenquotientenfunktion ja sonst nicht definiert
> ist.
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-2=-2[/mm]
>
> Ich freue mich auf eure Antworten!
>
> Gruß
> Angelika
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Hallo nochmal!
Danke für eure Antworten!
Wie meinst du das Fred?Wenn ich z.B die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] ableiten möchte, schreibe ich [mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.
[/mm]
Dann [mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{2hx+h^2}{h}\qquad \limes_{h\rightarrow0}2x+h
[/mm]
An diesem Punkt setze ich doch für h Null, um die Ableitung 2x zu erhalten, oder?Ist der wahre Wert aber nicht immer um eine unendlich kleine Zahl (epsilon)von 0 verschieden?
Denn bei Null habe ich doch die Lücke....Ist dann 0 nur als Näherungswert für eine sehr kleines Intervall zu sehen, der aber nicht mit diesem Inervall identisch ist?
Würde das nicht heißen, dass die Diff. Rechnung nicht 100% genau ist?Das Intervall wird doch nie gleich 0 sein, wiso ignoriert man es dann?Ich verstehe natürlich, das auch der Grenzwert als Näherungswert gedacht ist. In dem Analysis Buch von Otto Forster habe ich z.B eine Textpassage gefunden:
Seine Bedeutung beruht darauf, dass viele Größen nicht durch einen in endlich vielen Schritten exakt berechenbaren Ausdruck gegeben, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden können.Eine Zahl mit beliebiger Genauigkeit approximieren heißt, sie als Grenzwert einer Folge darstellen.
Chrisno:
Also ist 1 doch nur eine Näherung für [mm] 0,\overline{9} [/mm] und 0 eine Näherung für ein unedlich kleines h, aber genauer wäre es doch [mm] 0,\overline{9} [/mm] hinzuschreiben, oder?
Wenn die Funktion keine Lücke hätte, und an der Stelle stetig wäre, wäre der Grenzwert doch sowiso identisch mit den Funktionswert und für mich wäre die Sache klar.
Gruß
Anglika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal!
>
> Danke für eure Antworten!
>
> Wie meinst du das Fred?Wenn ich z.B die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm]
> ableiten möchte, schreibe ich
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.[/mm]
> Dann [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{2hx+h^2}{h}\qquad \limes_{h\rightarrow0}2x+h[/mm]
>
> An diesem Punkt setze ich doch für h Null, um die Ableitung
> 2x zu erhalten, oder?
nein, an diesem Punkt benutzt man bekannte Rechenregeln:
[mm] $$\lim_{h \to 0} 2x+h=2x+\lim_{h \to 0}h,\;\;\text{ wobei man hier genauer }\lim_{h \to 0}=\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h\not=0}} \text{ schreiben könnte.}$$
[/mm]
Und da $x [mm] \mapsto [/mm] x$ stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, folgt [mm] $\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h\not=0}}h=0\,,$ [/mm] was dann im nächsten Schritt ausgenutzt wird.
> Ist der wahre Wert aber nicht immer um
> eine unendlich kleine Zahl (epsilon)von 0 verschieden?
???
> Denn bei Null habe ich doch die Lücke....Ist dann 0 nur
> als Näherungswert für eine sehr kleines Intervall zu sehen,
> der aber nicht mit diesem Inervall identisch ist?
> Würde das nicht heißen, dass die Diff. Rechnung nicht 100%
> genau ist?Das Intervall wird doch nie gleich 0 sein, wiso
> ignoriert man es dann?Ich verstehe natürlich, das auch der
> Grenzwert als Näherungswert gedacht ist. In dem Analysis
> Buch von Otto Forster habe ich z.B eine Textpassage
> gefunden:
Die Differentialrechnung ist genau. Man geht ja nicht so vor, dass man sich "sehr nahe" an einen Wert nähert, sondern in Wahrheit ist es so, dass man sich "beliebig nahe" an einen Wert nähert. Irgendwas schmeißt Du da durcheinander, aber ich verstehe schon - ehrlich gesagt - nicht, was Du da nicht verstehst?
> Seine Bedeutung beruht darauf, dass viele Größen nicht
> durch einen in endlich vielen Schritten exakt berechenbaren
> Ausdruck gegeben, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit
> approximiert werden können.Eine Zahl mit beliebiger
> Genauigkeit approximieren heißt, sie als Grenzwert einer
> Folge darstellen.
>
> Chrisno:
>
> Also ist 1 doch nur eine Näherung für [mm]0,\overline{9}[/mm] und 0
> eine Näherung für ein unedlich kleines h, aber genauer wäre
> es doch [mm]0,\overline{9}[/mm] hinzuschreiben, oder?
Nö:
[mm] $\frac{1}{3}=0,\overline{3}=\lim_{n \to \infty} 3*\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{10}\right)^k$ [/mm] zeigt sofort [mm] $0,\overline{9}=1$.
[/mm]
Da gilt Gleichheit. Wenn Du das nicht glaubst, dann versuche mir mal, eine Zahl zu nennen, die zwischen [mm] $0,\overline{9}$ [/mm] und [mm] $\,1\,$ [/mm] liegt.
> Wenn die Funktion keine Lücke hätte, und an der Stelle
> stetig wäre, wäre der Grenzwert doch sowiso identisch mit
> den Funktionswert und für mich wäre die Sache klar.
Welche Funktion? Die Funktion [mm] $\text{id}_{\IR}: \IR \to \IR,\;x \mapsto [/mm] x$ ist stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] insbesondere stetig in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] Daraus folgt insbesondere [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x \not=0}} x=\lim_{\substack{x \to 0\\x \not=0}} \text{id}_{\IR}(x)=\text{id}_{\IR}(0)=0\,,$ [/mm] und genau das wurde z.B. oben bei der Ableitung von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ausgenutzt.
Gruß,
Marcel
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Danke für die Anregungen!
> nein, an diesem Punkt benutzt man bekannte Rechenregeln:
> [mm]\lim_{h \to 0} 2x+h=2x+\lim_{h \to 0}h,\;\;\text{ wobei man hier genauer }\lim_{h \to 0}=\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h\not=0}} \text{ schreiben könnte.}[/mm]
Ich finde diese Schreibweise sehr viel einleuchtender...
> Und da [mm]x \mapsto x[/mm] stetig in [mm]x_0=0[/mm] ist, folgt
> [mm]\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h\not=0}}h=0\,,[/mm] was dann im
> nächsten Schritt ausgenutzt wird.
>
> > Ist der wahre Wert aber nicht immer um
> > eine unendlich kleine Zahl (epsilon)von 0 verschieden?
>
> ???
>
Ich meinte damit , dass h immer um eine ubegrenzt kleine Zahl von 0 verschieden sein muss.
Null ist also ein Grenzwert(Näherungswert) für das unbegrenzt kleine, aber von 0 verschiedene Intevall h.
Der Abstand des Differenzenquotienten vom Differenzialquotienten wird beliebig klein wenn der Abstand zwischen h und 0 hinreichend klein ist.Wobei mit "beliebig klein" kleiner als Epsilon gemeint ist.
Das heißt aber, dass h zu 0 werden muss, damit der Übergang vom Differenzen-zum Differenzialquotienten passiert.Liegt da kein Wiederspruch?
Oder setzt man 0 als Näherungswert für das beliebig(um Epsilon) an 0 angenäherte h obwohl [mm] h\not=0?
[/mm]
Könnte man bei unserem anderen Beispiel 1 mit [mm] limes_{h\rightarrow0}h=0 [/mm] und [mm] 0,\overline{9} [/mm] mit dem beliebig nahen,kleinen Intervall h vergleichen?
Wenn schon, warum gilt dann [mm] 1=0,\overline{9} [/mm] jedoch nicht h=0?
> > Denn bei Null habe ich doch die Lücke....Ist dann 0 nur
> > als Näherungswert für eine sehr kleines Intervall zu sehen,
> > der aber nicht mit diesem Inervall identisch ist?
> > Würde das nicht heißen, dass die Diff. Rechnung nicht
> 100%
> > genau ist?Das Intervall wird doch nie gleich 0 sein, wiso
> > ignoriert man es dann?Ich verstehe natürlich, das auch der
> > Grenzwert als Näherungswert gedacht ist. In dem Analysis
> > Buch von Otto Forster habe ich z.B eine Textpassage
> > gefunden:
>
> Die Differentialrechnung ist genau. Man geht ja nicht so
> vor, dass man sich "sehr nahe" an einen Wert nähert,
> sondern in Wahrheit ist es so, dass man sich "beliebig
> nahe" an einen Wert nähert. Irgendwas schmeißt Du da
> durcheinander, aber ich verstehe schon - ehrlich gesagt -
> nicht, was Du da nicht verstehst?
>
> > Seine Bedeutung beruht darauf, dass viele Größen nicht
> > durch einen in endlich vielen Schritten exakt berechenbaren
> > Ausdruck gegeben, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit
> > approximiert werden können.Eine Zahl mit beliebiger
> > Genauigkeit approximieren heißt, sie als Grenzwert einer
> > Folge darstellen.
> >
> > Chrisno:
> >
> > Also ist 1 doch nur eine Näherung für [mm]0,\overline{9}[/mm] und 0
> > eine Näherung für ein unedlich kleines h, aber genauer wäre
> > es doch [mm]0,\overline{9}[/mm] hinzuschreiben, oder?
>
> Nö:
> [mm]\frac{1}{3}=0,\overline{3}=\lim_{n \to \infty} 3*\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{10}\right)^k[/mm]
> zeigt sofort [mm]0,\overline{9}=1[/mm].
>
> Da gilt Gleichheit. Wenn Du das nicht glaubst, dann
> versuche mir mal, eine Zahl zu nennen, die zwischen
> [mm]0,\overline{9}[/mm] und [mm]\,1\,[/mm] liegt.
>
> > Wenn die Funktion keine Lücke hätte, und an der Stelle
> > stetig wäre, wäre der Grenzwert doch sowiso identisch mit
> > den Funktionswert und für mich wäre die Sache klar.
>
> Welche Funktion? Die Funktion [mm]\text{id}_{\IR}: \IR \to \IR,\;x \mapsto x[/mm]
> ist stetig auf [mm]\IR[/mm], insbesondere stetig in [mm]x_0=0\,.[/mm] Daraus
> folgt insbesondere [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x \not=0}} x=\lim_{\substack{x \to 0\\x \not=0}} \text{id}_{\IR}(x)=\text{id}_{\IR}(0)=0\,,[/mm]
> und genau das wurde z.B. oben bei der Ableitung von
> [mm]f(x)=x^2[/mm] ausgenutzt.
Dabei meinte ich die Definitionslücke bei der Aufgabe im 1. Artikel.Wäre für die Stetigkeit nicht Voraussetzung, dass auch der Funktionswert an der Stelle x=-1 existiert?
Gruß und Danke für die Mühe!(Nicht alles is für jeden leicht verständlich)
Angelika
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo
Also h wird nicht Null gesetzt. man betrachtet den grenzwert wenn h gegen null strebt.
das bedeutet, dass man die Differenz der beiden gewählten x-werte gegen null strebt. aber h=0 genau dann wenn [mm] x=x_0 [/mm] .das macht wenig sinn.
Bei deinem einem GW_problem kannst du bin. formel anwenden und dann kürzen ..... bei dem 2. problem ähnlich .....
Gruß mOe
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