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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 So 19.01.2014 | | Autor: | Brokando |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge an = [mm] \wurzel[]{n} [/mm] − [mm] \wurzel[]{n − 1} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass bei dieser Aufgabe g=0 die Antwort ist.
Ich würde gern wissen, ob mein Weg korrekt war.
Ich habe die Folge durch [mm] \wurzel[]{n} [/mm] geteilt und dann durch [mm] \wurzel[]{n-1} [/mm] geteilt.
Danach bekommt man
[mm] (1/\wurzel[]{n-1} [/mm] - 1) / ( [mm] \wurzel[]{n} \* \wurzel[]{n-1} [/mm] )
oder?
Wenn das stimmt, geht [mm] 1/\wurzel[]{n-1} [/mm] gegen 0 und somit
- 1 / ( [mm] \wurzel[]{n} \* \wurzel[]{n-1} [/mm] )
geht auch gegen 0 oder?
Schon mal Vielen Dank für eure Hilfe :)
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> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge an = [mm]\wurzel[]{n}[/mm] −
> [mm]\wurzel[]{n − 1}[/mm]
> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich weiß, dass bei dieser Aufgabe g=0 die Antwort ist.
>
> Ich würde gern wissen, ob mein Weg korrekt war.
>
> Ich habe die Folge durch [mm]\wurzel[]{n}[/mm] geteilt und dann
> durch [mm]\wurzel[]{n-1}[/mm] geteilt.
Nein, du kannst nicht einfach wild herum teilen.
Du kannst lediglich mit "1" erweitern.
Also zum Beispiel mit: [mm] $\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
[/mm]
Was siehst du denn im Zähler? Tipp: Bi..m
Mache das mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 19.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Ok, wenn ich mit
[mm] $\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
[/mm]
erweitere bekomme ich die 3. Bin. Formel im Nenner und habe nach dem Auflösen
[mm] $\frac{n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
[/mm]
oder? Wenn das so stimmt, hat mir das schonmal sehr geholfen :)
Allerdings zerbreche ich mir gerade den Kopf, wie es weiter geht..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>
> Ok, wenn ich mit
>
> [mm]$\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}[/mm]
>
> erweitere bekomme ich die 3. Bin. Formel im Nenner und habe
> nach dem Auflösen
>
> [mm]$\frac{n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}[/mm]
Fast.
Es gilt im Zähler:
$n-(n-1)=n-n+1=1$
> oder? Wenn das so stimmt, hat mir das schonmal sehr
> geholfen :)
>
> Allerdings zerbreche ich mir gerade den Kopf, wie es weiter
> geht..
Hast du jetzt eine Idee?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 19.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Leider verstehe ich nicht, warum n-(n-1)=n-n+1=1 im Zähler gilt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Leider verstehe ich nicht, warum n-(n-1)=n-n+1=1 im Zähler gilt..
Ich dachte, dass das nur ein Vorzeichenfehler war.
Aber kein Problem, dann gehen wir das doch durch 
Es gilt:
[mm] a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})*(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}})
[/mm]
Wir setzen:
[mm] a:=\sqrt{n}
[/mm]
[mm] b:=\sqrt{n-1}
[/mm]
Die dritte binomische Formel lautet:
[mm] (a-b)(a+b)=a^2-b^2
[/mm]
Demnach gilt:
[mm] a_n=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}=\frac{a^2-b^2}{a+b}
[/mm]
Also gilt:
[mm] a_n=\frac{(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n-1})^2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{n-n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
[/mm]
Jetzt bist du aber dran.
Hast du eine Idee?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 So 19.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Vielen vielen Dank für deine Mühe :) genau diese Erklärung brauchte ich mal.
[mm] \sqrt{n} [/mm] und [mm] \sqrt{n-1} [/mm] laufen gegen unendlich und deswegen geht [mm] \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} [/mm] gegen 0
also g=0
Danke nochmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Vielen vielen Dank für deine Mühe :) genau diese
> Erklärung brauchte ich mal.
Freut mich
> [mm]\sqrt{n}[/mm] und [mm]\sqrt{n-1}[/mm] laufen gegen unendlich und deswegen
> geht [mm]\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}[/mm] gegen 0
>
> also g=0
Das könntest du mit dem [mm] \epsilon\text{-Kriterium} [/mm] oder einer Abschätzung nach oben besser ausdrücken.
> Danke nochmal :)
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Mit dem Wurzelkriterium?
Edit:
Habe jetzt erst das Epsilon gesehen.. ich schaue mal..
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Hallo,
ich würde entweder nach oben abschätzen, oder den Grenzwert direkt berechnen, indem aus dem Nennerterm [mm] \wurzel{n} [/mm] ausgelkammert wird. Aber irgendwelche Konvergenzkriterien anzuwenden ist für meinen Geschmack hier sozusagen völlig overdressed.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Hallo,
im Prinzip habe ich das doch schon abgeschätzt oder nicht?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n}} \to [/mm] 0
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n-1}} \to [/mm] 0
somit läuft auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n} + \wurzel[]{n-1}} \to [/mm] 0
oder?
Wie sollte man das noch besser aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo,
>
> im Prinzip habe ich das doch schon abgeschätzt oder
> nicht?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n}} \to[/mm] 0
>
> und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n-1}} \to[/mm] 0
>
> somit läuft auch
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel[]{n} + \wurzel[]{n-1}} \to[/mm]
> 0
>
> oder?
>
> Wie sollte man das noch besser aufschreiben?
Wir machen den Nenner ein ganz bisschen "kleiner",
dann wird der Bruch größer und es gilt:
[mm] \frac{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}<\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{2\sqrt{n-1}}
[/mm]
Das reicht aus 
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Ah ok :)
Es ist wirklich super, wie einem hier geholfen wird :)
Vielen Dank nochmal dafür an alle :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Brokando |
Bitte ignorieren
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