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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Zeigen Sie
( [mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^{k})^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(k+2)(k+1)}{2} x^{k} [/mm] für |x| < 1 und berechnen Sie damit den Grenzwert auf der rechten Seite. |
Hallo,
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich erledigt, also die Gleichheit beider Aussagen zu zeigen.
Jetzt überlege ich gerad wie ich am einfachsten den Grenzwert berechnen kann.
Muss ich um den Grenzwert der rechten Seite zu erhalten auch tatsächlich mit der Aussage auf der rechten Seite arbeiten oder kann ich auch die linke Seite nehmen, da beides ja gleich ist? Auf der linken Seite kann ich das vermutlich recht einfach machen. Es handelt sich ja um eine geometrische Reihe, wo ich zunächst einmal die Folge [mm] s_{m} [/mm] der Reihe bestimmen würde und danach den Grenzwert der Reihe.
Ich habe mich jetzt aber an dem rechten Teil versucht und folgedes gemacht:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(m+2)(m+1)}{2} x^{m} [/mm] = 3x - [mm] 6x^{2}+6x^{2}-10x^{3}+10x^{3}-...+\bruch{(m-2+2)(m-2+1)}{2}*x^{m-2}-\bruch{(m-1+2)(m-1+1)}{2}*x^{m-1}+\bruch{(m-1+2)(m-1+1)}{2}*x^{m-1}-\bruch{(m+2)(m+1)}{2}x^{m}
[/mm]
Da es sich hierbei um eine Teleskopsumme handelt, bleibt lediglich die Folge [mm] s_{m}=3x-\bruch{(m+2)(m+1)}{2}x^{m} [/mm] übrig.
Wenn ich hiervon den Grenzwert berechnen will, sehe ich, dass 3x eine konstante ist, [mm] x^{m} [/mm] für m [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen 0 konvergiert, da |x| < 1, und folglich das Produkt aus dem gesamten Bruch [mm] \bruch{m^{2}+3m+2}{2} [/mm] mit [mm] x^{m} [/mm] multipliziert 0 ergibt. Dann ist der Grenzwert doch 3x, oder?
Stimmt dies so?
mfg,
zjay
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Hi,
was ist das denn für eine Aufgabe?
Wenn die geometrische Reihe eingeführt wurde, dann kannst du sie auch benutzen.
Für |x|<1 ist [mm] summe_{k=0}^{\infty} x^{k}=\frac{1}{1-x}.
[/mm]
Damit ergibt sich dann in der Tat schnell der Grenzwert auf der rechten Seite, sofern man auch wirklich die Gleichheit der Reihen gezeigt hat!
Aber nein, der Grenzwert ist nicht [mm] x^3.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
Wie meinst du die Frage: was ist das denn für eine Aufgabe?
Wenn ich mit der linken Seite arbeite, würde ich zunächst einmal x:= 1/b mit b>1 setzen. Dies müsste möglich sein da der Betrag von x kleiner als 1 ist.
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} x^{k})^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1-\bruch{1}{b}})^{3}= \bruch{b^{3}}{(b-1)^{3}}
[/mm]
Ist dies richtig?
und jetzt aus reiner Neugier:
war meine vorherige Rechnung weiter oben denn falsch?
ps: bei meiner Rechnung oben war der Grenzwert 3x und nicht [mm] x^{3}
[/mm]
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 02.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum ersetzes du x durch 1/b? Aber wenn du wieder x einsetzt ist es richtig.
2. deine Rechnung war falsch. woher hattest du denn die negativen Terme? und der mit k oder m=0 fehlte auch.
achte auf den Summationsindex, den du immer inennst auch wenn du über k oder m summierst.
3.wenn du die geom. Reihe differenzierst kommst du auf die Formel. wie hast du sie bewiesen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
Achso gut, vielen Dank.
1.) Ich dachte es wäre sinnvoll. Aber durch das Setzen von x:= 1/b hab ich das wohl nur unnötig komplizierter gemacht.
2.) Ich habe mich da schlichtweg vertan.
3.) Die kurzkurz Fassung so sieht aus, dass ich da das Cauchy Produkt und später noch den kleinen Gauß benutzt habe um die Gleichheit zu zeigen. Wir hatten da in der Übung schon Beispiele, sodass der Teil der Aufgabe nicht allzu schwierig war.
Ich stehe gerad leider ein wenig unter Zeitdruck, weshalb ich meine komplette Aufgabe 27 nicht gepostet habe.
Aber danke für die Hilfestellungen.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Cauchyprodukt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
Danke für den Hinweis. Den Teil der Aufgabe, wo ich die Gleichheit zu zeigen hatte, habe ich glücklicherweise schon geschafft. (s. obige Mittelung).
mfg,
zjay
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