Grenzwert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 21.05.2006 | | Autor: | svensven |
| Aufgabe | [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}
[/mm]
Bestimmen Sie Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz |
Hallo zusammen,
die Monotonie zu zeigen schaffe ich noch mit:
[mm] a_{n+1}>a_n [/mm] ...
Zum Nachweis der Konvergenz, dachte an das Majorantenkriterium:
[mm] a_n \le b_n
[/mm]
mit
[mm] b_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Geht das so?
Die eine Schranke liegt bei [mm] a_1=1/2 [/mm] .
Aber wie komme ich auf die Beschränktheit für n->oo ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 23.05.2006 | | Autor: | svensven |
Hallo,
danke für die Antwort.
Gut das Majorantenkriterium war wohl die falsche Wahl...
>
> > Die eine Schranke liegt bei [mm]a_1=1/2[/mm] .
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt ja bereits: [mm]a_2 \ = \ \summe_{k=1}^{2}\bruch{1}{2+k} \ = \ \bruch{1}{2+1}+\bruch{1}{2+2}\ = \ \bruch{1}{3}+\bruch{1}{4} \ = \ \bruch{7}{12} \ \red{> \ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
Ist nicht die untere Schranke bei bei [mm] a_1=1/2 [/mm] ? Die Reihe wächst doch, oder?
> Weise z.B. die Beschränktheit mit vollständiger Induktion
> nach.
>
Ich komme bei der Induktion leider irgendwie nicht weiter:
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k+n}
[/mm]
[mm] a_1=1/2
[/mm]
[mm] a_n->a_(n+1)
[/mm]
[mm] a_(n+1)=\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k+n+1}
[/mm]
[mm] a_(n+1)=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k+n+1}+ \bruch{1}{n+1+n+1} [/mm]
Dann war meine Überlegung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n}=\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+n}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n+1}=\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+n}+...+\bruch{1}{n+n+1}
[/mm]
Also:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+n+1}
[/mm]
Oben eingesetzt ergibt das:
[mm] a_(n+1)=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+n+1}+\bruch{1}{n+1+n+1} [/mm]
[mm] a_(n+1)=a_n-\bruch{2}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2} [/mm]
[mm] a_(n+1)=a_n-\bruch{1}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Aber das hilft mir irgendwie nicht, oder?
> Aus Monotonie und Beschränktheit folgt dann unmittelbar die
> Konvergenz.
>
OK das versteh ich.
Danke schonmal für Deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 23.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo svensen
1. a1 ist natürlich ne untere Schranke, aber die ist völlig uninteressant, da du ja mon. steigend gezeigt hast. (wie eigentlich?)
Wie roadrunner das mit Induktion machen will, weiss ich grade nicht genau.
aber wenn, dann nur wenndu ne obere Schranke kennst bzw. vermutest. hier ist 1 eine, du kannst aber auch 2 nehmen. dann zBsp [mm] a_{n}<1-1/ [/mm] n und daraus folgern [mm] a_{n+1}<1-1/(n+1)
[/mm]
Hier geht es aber auch direkter an abschätzen:
für n>1:
[mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k+n}<\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{1+n}=n*\bruch{1}{1+n}<1[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 23.05.2006 | | Autor: | svensven |
> da du ja mon. steigend gezeigt hast. (wie eigentlich?)
Ungefähr so:
[mm] a_(n+1)>a_n
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+n+1)}>\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n)}=\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+n}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n+1)}=\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+n}+\bruch{1}{n+n+1}
[/mm]
Die beiden Summen ergeben:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n)}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+n+1}
[/mm]
Oben eingesetzt ergibt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n)}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+n+1}+\bruch{1}{n+n+1+1}>\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+n)}
[/mm]
[mm] \bruch{-2}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}>0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2n+1}>\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
2n+2>2n+1
> Wie roadrunner das mit Induktion machen will, weiss ich
> grade nicht genau.
> aber wenn, dann nur wenndu ne obere Schranke kennst bzw.
> vermutest. hier ist 1 eine, du kannst aber auch 2 nehmen.
Also reicht irgendeine Schranke aus? Ich könnte auch zeigen das [mm] a_n<10 [/mm] oder [mm] a_n<100 [/mm] ist?
> dann zBsp [mm]a_{n}<1-1/[/mm] n und daraus folgern
> [mm]a_{n+1}<1-1/(n+1)[/mm]
> Hier geht es aber auch direkter an abschätzen:
> für n>1:
> [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k+n}<\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{1+n}=n*\bruch{1}{1+n}<1[/mm]
>
Danke das ist eine clevere Lösung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 23.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo svensven
Wenn du nur Beschränktheit zeigen willst reicht JEDE endlich Schranke! z.Bsp [mm] an<2006^{2006}.
[/mm]
Beschränktheit heist ja wirklich nur es gibt eine Zahl, so dass alle an kleiner sind! Meist hilft allerdings so ne Große Zahl auch nicht viel mehr.
Gruss leduart
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
